単位の計算・換算練習問題2(次元解析と解答確認)
単位も計算できるということを学びましたが、単位が計算できるということはイコールで結ばれた両辺の単位も等しくなければならないということです。
もし未知の単位があったとしても、その他の単位がわかっていれば未知の単位を推測することができます。
また、問題に対する自身の解答が意図した単位であるか確認することで単位的に間違っていないかを確認することができます。
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こちらでも解説しているのでよろしくお願いします。
→単位の計算・換算練習問題2(次元解析と解答確認)【単位】【次元解析】
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目次
1-1.次元解析練習問題
[問題]
地表において、ある物体と地球の間には万有引力がはたらく。
ある物体の質量を\(\mathrm{m[kg]}\)、地球の質量を\(\mathrm{M[kg]}\)、地球の半径を\(\mathrm{R[m]}\)とすると、ある物体の運動方程式は万有引力定数Gを用いて
\(\displaystyle{\mathrm{m\mathit{a}=G\frac{Mm}{R^2}}}\)
と表すことができる。
地表において、\(\mathrm{a}\)は重力加速度と呼ばれ、単位は\(\mathrm{[m/s^2]}\)である。
上記運動方程式が成り立つとき、万有引力定数\(\mathrm{G}\)の単位はどのように表されるか?
1-2.次元解析練習問題解答
[解答]
万有引力定数\(\mathrm{G}\)の単位が不明なので、この単位を\(\mathrm{x}\)とおいておきます。
運動方程式を単位付きで書き表すと、
\(\displaystyle{\mathrm{m[kg]×\mathit{a}[m/s^2]=G[\mathit{x}]×\frac{M[kg]×m[kg]}{{R[m]}^2}}}\)
ここで、イコールで結ばれた両辺で単位は等しいはずです。
運動方程式の単位のみに注目してみると、
\(\displaystyle{\mathrm{kg×m/s^2=\mathit{x}×\frac{kg×kg}{m^2}}}\)
となります。
単位も計算できるので、これを未知の単位\(\mathrm{x}\)について解きます。
まず、両辺を\(\mathrm{kg×kg}\)で割って
\(\displaystyle{\scriptsize{\begin{eqnarray}&&\mathrm{kg×m/{s^2}=\mathit{x}×\frac{kg×kg}{m^2}}\\&\Leftrightarrow&\mathrm{kg×m/{s^2}×\frac{1}{\textcolor{red}{kg×kg}}=\mathit{x}×\frac{kg×kg}{m^2}×\frac{1}{\textcolor{red}{kg×kg}}}\\&\Leftrightarrow&\mathrm{\frac{\textcolor{blue}{\cancel{kg}}・m}{\textcolor{blue}{\cancel{kg}}・kg・s^2}=\mathit{x}×\frac{\textcolor{blue}{\cancel{kg}}・\textcolor{blue}{\cancel{kg}}}{\textcolor{blue}{\cancel{kg}}・\textcolor{blue}{\cancel{kg}}・m^2}}\\&\Leftrightarrow&\mathrm{\frac{m}{kg・s^2}=\mathit{x}×\frac{1}{m^2}}\end{eqnarray}}}\)
さらに、両辺に\(\mathrm{m^2}\)を掛けて
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\mathrm{\frac{m}{kg・s^2}=\mathit{x}×\frac{1}{m^2}}\\&\Leftrightarrow&\mathrm{\frac{m}{kg・s^2}×\textcolor{red}{m^2}=\mathit{x}×\frac{1}{m^2}×\textcolor{red}{m^2}}\\&\Leftrightarrow&\mathrm{\frac{m^3}{kg・s^2}=\mathit{x}×\frac{1}{\textcolor{blue}{\cancel{{m^2}}}}×\textcolor{blue}{\cancel{{m^2}}}}\\&\Leftrightarrow&\mathrm{\frac{m^3}{kg・s^2}=\mathit{x}}\end{eqnarray}}\)
よって、求める単位は\(\mathrm{\underline{\frac{m^3}{kg・s^2}}}\)
力の単位\(\mathrm{N}\)(ニュートン)を用いれば、
\(\mathrm{N=kg・m/{s^2}}\)なので、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{\frac{m^3}{kg・s^2}}&=&\mathrm{\frac{m^3}{kg・s^2}×\frac{kg}{kg}}\\&=&\mathrm{\textcolor{red}{kg\frac{m}{s^2}}×\frac{m^2}{kg^2}}\\&=&\mathrm{\textcolor{red}{N}・m^2/{kg^2}}\end{eqnarray}}\)
より、\(\mathrm{N・m^2/kg}\)とも表すことができます。
2.解答の単位確認方法
例えば問題の中で速さが文字式で問われているとします。
自身が計算した結果、質量M[kg],m[kg]、距離L[m]、時間t[s]を用いて
\(\displaystyle{\mathrm{\frac{mM L}{(m+M)t}}}\)
という式になったとすると、この式の単位は
\(\displaystyle{\mathrm{\frac{(kg)^2・m}{kg・s}=kg・m/s}}\)
となってしまい、速さの単位\(\mathrm{m/s}\)ではありません。
なので、この式は間違っていると判断できます。
このようにして、簡易的に自身の導き出した答えが明らかに間違っていないかを確認することができます。
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