5-2.積分法 - 高校物理　理解の手助け

\(\textcolor{red}{\bf{関数}}\)\(\textcolor{red}{f(x)}\)\(\textcolor{red}{\bf{の不定積分を求めることを、}}\)\(\textcolor{red}{f(x)}\)\(\textcolor{red}{\bf{を積分する}}\)といいます。

また、積分することと微分することは、互いに逆の計算であるといえます。

1-2.\(x^n\)の不定 積分

微分の解説で扱った、\(x^n\)について、

\( (x^n)'=nx^{n-1}\)

なので、\(x^n\)の不定積分は

\(\displaystyle{\int{x^n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C}\)

となります。

確認のために、\(\displaystyle{\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C}\)を微分してみると、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\left(\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\right)'&=&\frac{1}{n+1}・(n+1)x^{n+1-1}+0\\\\&=&x^n\end{eqnarray}}\)

となり、\(x^n\)の原始関数は\(\displaystyle{\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C}\)であることが確認できます。

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1-3.定数倍・和・差の不定 積分

5-1.微分係数と導関数で解説したように、定数倍・和・差の微分は以下のようになります。

\(F'(x)=f(x)\)、\(G'(x)=g(x)\)のとき

\(\underline{\bf{定数倍の微分}}\)

\( (kF(x))'=kf(x)\)

\(\underline{\bf{和の微分}}\)

\( (F(x)+G(x))'=f(x)+g(x)\)

\(\underline{\bf{差の微分}}\)

\( (F(x)-G(x))'=f(x)-g(x)\)

上記から、

\(kF(x)\)は\(kf(x)\)の原始関数の一つ

\(F(x)+G(x)\)は\(f(x)+g(x)\)の原始関数の一つ

\(F(x)-G(x)\)は\(f(x)-g(x)\)の原始関数の一つ

となるので、積分定数を考えると定数倍・和・差の不定積分に関して、以下の式が成り立ちます。

\(\underline{\bf{定数倍}}\)

\(\displaystyle{\int{kf(x)}dx=kF(x)+C　kは定数　\cdots①}\)

また、\(\int{kf(x)}dx=k\int{f(x)}dx\)のように、定数部分をインテグラルの前に出すこともできます。

\(\underline{\bf{和}}\)

\(\displaystyle{\int\{f(x)+g(x)\}=F(x)+G(x)+C　\cdots②}\)

\(\underline{\bf{差}}\)

\(\displaystyle{\int\{f(x)-g(x)\}=F(x)-G(x)+C　\cdots②}\)

下記にこれらの計算例を載せておきます。

\(\underline{\bf{①の計算例}}\)

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int{2x^2}dx&=&2\int{x^2}dx\\\\&=&2(\frac{1}{3}x^3)+C\\\\&=&\frac{2}{3}x^3+C\end{eqnarray}}\)

\(\underline{\bf{②の計算例}}\)

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int{(x^2+x)}dx&=&\int{x^2}dx+\int{x}dx\\\\&=&\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+C\end{eqnarray}}\)

\(\underline{\bf{③の計算例}}\)

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int{(x^2-x)}dx&=&\int{x^2}dx-\int{x}dx\\\\&=&\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+C\end{eqnarray}}\)

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1-4.様々な関数の不定 積分

変数が\(x\)でない関数についても、同様に不定積分を考えてみます。
変数が\(t\)のものについて考えてみますが、こちらも変数が\(x\)から\(t\)に変わっただけで、計算自体は同様に行います。

下記に計算例を載せておきます。

例) \(t\)の関数について

\(\displaystyle{\int{1}dt=t+C}\)

\(\displaystyle{\int{t}dt=\frac{1}{2}t^2+C}\)

\(\displaystyle{\int{t^2}dt=\frac{1}{3}t^3+C}\)

また、積分定数\(C\)は、与えられた条件によっては定まります。
例えば、\(f(x)=x^2\)として、原始関数の1つを\(F(x)\)とすると、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}F(x)&=&\int{f(x)}dx\\\\&=&\int{x^2}dx\\\\&=&\frac{1}{3}x^3+C\end{eqnarray}}\)

よって、

\(\displaystyle{F(x)=\frac{1}{3}x^3+C}\)

ここで、\(F(0)=3\)という条件が与えられたとき、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}F(0)&=&\frac{1}{3}・0^2+C\\\\&=&3\end{eqnarray}}\)

より、\(C=3\)と定まります。

従って、原始関数は

\(F(x)=\frac{1}{3}x^3+3\)

となります。

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2.定積分

　2-1.定積分

関数\(f(x)\)の原始関数の1つを\(F(x)\)とし、\(a\)、\(b\)を\(f(x)\)の定義域内の任意の値とするとき、\(F(b)-F(a)\)は、\(F(x)\)の選び方とは無関係に\(a\)、\(b\)の値だけで定まります。

※\(f(x)=x\)とすると、\(\displaystyle{F(x)=\int{x}dx=\frac{1}{2}x^2+C}\)となる。

　このとき

　\(\displaystyle{\begin{eqnarray}F(b)-F(a)&=&\left(\frac{1}{2}b^2+C\right)-\left(\frac{1}{2}a^2+C\right)\\\\&=&\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2\end{eqnarray}}\)

　となり、\(a\)と\(b\)の値だけで決まる。

\(\textcolor{red}{\bf{この}}\)\(\textcolor{red}{F(b)-F(a)}\)\(\textcolor{red}{\bf{を}}\)\(\displaystyle{\textcolor{red}{\int_a^b{f(x)}dx}}\)\(\textcolor{red}{\bf{と書き、これを}}\)\(\textcolor{red}{f(x)}\)\(\textcolor{red}{\bf{の}}\)\(\textcolor{red}{a}\)\(\textcolor{red}{\bf{から}}\)\(\textcolor{red}{b}\)\(\textcolor{red}{\bf{までの"定積分"}}\)といいます。

このとき、\(a\)を下端、\(b\)を上端といいます。

また、\(F(b)-F(a)\)を\(\left[F(x)\right]_a^b\)とも書きます。

以上から、以下のように書くことができます。

☆\(F'(x)=f(x)\)のとき

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int_a^b{f(x)}dx&=&\left[F(x)\right]_a^b\\\\&=&F(b)-F(a)\end{eqnarray}}\)

以下に例を載せておきます。

例)

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int_1^2{x}dx&=&\left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^2\\\\&=&\frac{1}{2}・2^2-\frac{1}{2}・1^2\\\\&=&\frac{3}{2}\end{eqnarray}}\)

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int_2^1{x}dx&=&\left[\frac{1}{2}x^2\right]_2^1\\\\&=&\frac{1}{2}・1^2-\frac{1}{2}・2^2\\\\&=&-\frac{3}{2}\end{eqnarray}}\)

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int_2^2{x}dx&=&\left[\frac{1}{2}x^2\right]_2^2\\\\&=&\frac{1}{2}・2^2-\frac{1}{2}・2^2\\\\&=&0\end{eqnarray}}\)

　2-2.定積分の性質

\(\underline{\bf{定数倍・和・差の定積分}}\)

定積分についても不定積分と同様に、定数倍・和・差について以下の式が成り立ちます。

\(\underline{\bf{定数倍の定積分}}\)

\(\displaystyle{\int_a^b{kf(x)}dx=k\int_a^b{f(x)}dx　kは定数}\)

\(\underline{\bf{和の定積分}}\)
\(\displaystyle{\int_a^b\{f(x)+g(x)\}dx=\int_a^b{f(x)}dx+\int_a^b{g(x)}dx}\)

\(\underline{\bf{差の定積分}}\)
\(\displaystyle{\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx=\int_a^b{f(x)}dx-\int_a^b{g(x)}dx}\)

以下に計算例を載せておきます。

例)

\(\underline{\bf{定数倍の定積分計算例}}\)

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int_1^2{3x}dx&=&3\int_1^2{x}dx\\\\&=&3\left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^2\\\\&=&\frac{3}{2}\left[2^2-1^2\right]\\\\&=&\frac{9}{2}\end{eqnarray}}\)

\(\underline{\bf{和の定積分計算例}}\)
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int_1^2{(x^2+x)}dx&=&\int_1^2{x^2}dx+\int_1^2{x}dx\\\\&=&\left[\frac{1}{3}x^3\right]_1^2+\left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^2\\\\&=&\frac{1}{3}(2^3-1^3)+\frac{1}{2}(2^2-1^2)\\\\&=&\frac{1}{3}(8-1)+\frac{1}{2}(4-1)\\\\&=&\frac{7}{3}+\frac{3}{2}\\\\&=&\frac{14+9}{6}\\\\&=&\frac{23}{6}\end{eqnarray}}\)

\(\underline{\bf{差の定積分計算例}}\)
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int_1^2(x^2-x)dx&=&\int_1^2{x^2}dx-\int_1^2{x}dx\\\\&=&\left[\frac{1}{3}x^3\right]_1^2-\left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^2\\\\&=&\frac{1}{3}(8-1)-\frac{1}{2}(4-1)\\\\&=&\frac{7}{3}-\frac{3}{2}\\\\&=&\frac{14-9}{6}\\\\&=&\frac{5}{6}\end{eqnarray}}\)

\(\underline{\bf{定積分の性質}}\)

定積分の性質には、以下のようなものがあります。

\(\displaystyle{\int_a^a{f(x)}dx=0　\cdots①}\)

\(\displaystyle{\int_b^a{f(x)}dx=-\int_a^b{f(x)}dx　\cdots②}\)

\(\displaystyle{\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^c{f(x)}dx+\int_c^b{f(x)}dx　\cdots③}\)

以下に証明を載せておきます。

\(\underline{\bf{①について}}\)

\(F'(x)=f(x)\)とすると

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int_a^a{f(x)}dx&=&\left[F(x)\right]_a^a\\\\&=&F(a)-F(a)\\\\&=&0\end{eqnarray}}\)

\(\underline{\bf{②について}}\)

\(F'(x)=f(x)\)とすると

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int_b^a{f(x)}dx&=&\left[F(x)\right]_b^a\\\\&=&F(a)-F(b)\\\\&=&-(F(b)-F(a))\\\\&=&-\int_a^b{f(x)}dx\end{eqnarray}}\)

\(\underline{\bf{③について}}\)

\(F'(x)=f(x)\)とすると

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int_a^c{f(x)}dx+\int_c^b{f(x)}dx&=&\left[F(x)\right]_a^c+\left[F(x)\right]_c^b\\\\&=&(F(c)-F(a))+(F(b)-F(c))\\\\&=&F(b)-F(a)\\\\&=&\int_a^b{f(x)}dx\end{eqnarray}}\)

となります。

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　2-3.f(t)の定積分

こちらも不定積分のときと同様に、変数が\(x\)から\(t\)へと変わっただけで、計算自体は同様となります。

\(t\)を変数とする関数の定積分は次のようになります。

\(F'(t)=f(t)\)のとき、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int_a^b{f(t)}dt&=&\left[F(t)\right]_a^b\\\\&=&F(b)-F(a)\end{eqnarray}}\)

上記式から、計算結果は変数に関わらずに\(a\)と\(b\)で決まることが分かります。

すなわち、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\int_a^b{f(t)}dt&=&\int_a^b{f(x)}dx\\\\&=&F(b)-F(a)\end{eqnarray}}\)

となり、定積分の値は変数が異なっても同じとなります。

また、関数\(f(t)\)に対して、\(F'(t)=f(t)\)のとき、\(f(t)\)の定積分

\(\displaystyle{\int_a^x{f(t)}dt=F(x)-F(a)}\)

は\(x\)の関数となります。

この関数の右辺を\(x\)で微分すると、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}(F(x)-F(a))'&=&F'(x)-(F(a))'\\\\&=&f(x)\end{eqnarray}}\)

となるので、次のことが成り立ちます。
(上式の\(F(a)\)は定数なので、微分すると\(0\)となる)

\(a\)を定数とするとき、\(x\)の関数

\(\displaystyle{\int_a^x{f(t)}dt}\)

の導関数は、

\(\displaystyle{f(x)}\)

となります。
\((※\int_a^x{f(t)}dt{\bf{を}}x{\bf{で微分すると}}f(x){\bf{となる}})\)

すなわち、

\(\displaystyle{\frac{d}{dx}\int_a^x{f(t)}dt=f(x)}\)

が成り立ちます。

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3.図形の面積と定積分

　3-1.面積と定積分の関係

図形の面積と定積分との関係を考えるために、具体的な関数で調べていきます。

\(\underline{\bf{具体例①}}\)

一次関数\(y=x+1\)のグラフと、\(x\)軸および\(y\)軸と\(x=t\)で囲まれた部分の面積を調べます。

上図において、斜線部\(OABC\)の面積は\(t\)の関数であり、この面積を\(S(t)\)とすると、台形の面積を求める式から

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}S(t)&=&\frac{1}{2}\{1+(t+1)×t\}\\\\&=&\frac{1}{2}(t+2)×t\\\\&=&\frac{1}{2}t^2+t\end{eqnarray}}\)

また、この\(S(t)\)を微分すると

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}S'(t)&=&\left(\frac{1}{2}t^2+t\right)'\\\\&=&t+1\end{eqnarray}}\)

ここで、\(S'(t)\)の変数を\(x\)に変更すると

\(S'(x)=x+1\)

以上の結果から、

\(f(x)=x+1\)

\(S'(x)=x+1\)

なので

\(S'(x)=f(x)\)

となります。

次に、\(y=x+1\)のグラフと\(x\)軸および\(x=a\) , \(x=b\)で囲まれた部分の面積を調べてみます。

上図において、\(ABCD\)の面積を\(S\)とすると、この面積は\(S(t)\)を用いて

\(S=\textcolor{blue}{S(b)}-\textcolor{red}{S(a)}\)

と表せます。

また先ほどの結果から、\(S'(x)=f(x)\)であるのでこの面積は、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}S&=&\textcolor{blue}{S(b)}-\textcolor{red}{S(a)}\\\\&=&\left[S(x)\right]_a^b\\\\&=&\int_a^b{S'(x)}dx\\\\&=&\int_a^b{f(x)}dx\end{eqnarray}}\)

と表せます。

\(\underline{\bf{具体例②}}\)

次に、定積分と面積の関係を2次関数\(y=x^2\)で考えてみます。

上図斜線部の面積は\(t\)の関数であり、これを\(S(t)\)とします。
このとき、\(S'(t)=t^2\)であれば、具体例\(①\)の\(y=x+1\)のときと同様にして、面積を積分の形で表せます。

そのために、次の図を考えます。

上図において、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}CD&=&EF\\\\&=&AB\\\\&=&(t+h)-t\\\\&=&h\end{eqnarray}}\)

となっています。

今、\(y=x^2\)と\(x\)軸、\(x=t\)で囲まれた部分の面積を\(S(t)\)としているので、上図斜線部の面積は\(h\gt0\)とすると、具体例\(①\)と同様に考えて

\(\displaystyle{S(t+h)-S(t)}\)

となります。

これと、横の長さが\(h\)である2つの長方形\(ABFE\)と\(ABDC\)の面積の大小関係を考えます。

長方形\(ABFE\)の面積は\(ht^2\)

長方形\(ABDC\)の面積は\(h(t+h)^2\)

であり、図から大小関係は

\(\displaystyle{ht^2{\lt}S(t+h)-S(t){\lt}h(t+h)^2}\)

となります。

この不等式をそれぞれ\(h\)で割ると、\(h\gt0\)なので、

\(\displaystyle{t^2\lt{\frac{S(t+h)-S(t)}{h}}{\lt}{(t+h)^2}}\)

となります。

\(h\lt0\)のときには斜線部の面積は

\(\displaystyle{S(t)-S(t+h)}\)

また長方形の大小関係は

\(\displaystyle{h(t+H)^2{\lt}S(t)-S(t+h){\lt}ht^2}\)

これをそれぞれ\(h\)で割りますが、\(h\lt0\)であることに気を付けると

\(\displaystyle{t^2\lt\frac{S(t+h)-S(t)}{h}\lt(t+h)^2}\)

となり、結果は\(h\gt0\)の場合と同様になります。

また、
\(\displaystyle{\lim_{h\to0}(t+h)^2=t^2}\)
となります。

以上のことから、\(h\to0\)とすると

\(\displaystyle{t^2\lt\frac{S(t+h)-S(t)}{h}{\lt}t^2}\)

となるので

\(\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{S(t+h)-S(t)}{h}=t^2}\)

となります。

上式右辺は微分の定義となるので

\(\displaystyle{S'(t)=t^2}\)

です。

ここで、\(y=x^2\)のグラフと\(x\)軸および2直線\(x=a\) , \(x=b\)で囲まれた部分の面積を\(S\)とすると\(S\)は\(S(t)\)を用いて

\(\displaystyle{S=S(b)-S(a)}\)

と表されます。

以上より、定積分の定義と性質から

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}S&=&S(b)-S(a)\\\\&=&\left[S(t)\right]_a^b\\\\&=&\int_a^b{S'(t)}dt\\\\&=&\int_a^b{t^2}dt\\\\&=&\int_a^b{x^2}dx\end{eqnarray}}\)

が成り立ちます。

一般に関数\(y=f(x)\)について、次のことが成り立ちます。

\(a\le{x}\le{b}\)の範囲で\(f(x)\ge0\)のとき、\(y=f(x)\)のグラフと\(x\)軸および2直線\(x=a\)、\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は

\(\displaystyle{\textcolor{red}{S=\int_a^b{f(x)}dx}}\)

となります。

例)

\(y=x^2\)と\(x\)軸および\(x=1\)、\(x=3\)で囲まれた部分の面積\(S\)は

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}S&=&\int_1^3{x^2}dx\\\\&=&\left[\frac{1}{3}x^3\right]_1^3\\\\&=&\frac{1}{3}(3^3-1^3)\\\\&=&\frac{1}{3}(27-1)\\\\&=&\frac{26}{3}\end{eqnarray}}\)

また、次のことも成り立ちます。

\(a\le{x}\le{b}\)の範囲で\(f(x)\le0\)のとき、\(y=f(x)\)のグラフと\(x\)軸および2直線\(x=a\)、\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は

\(\displaystyle{\textcolor{red}{S=\int_a^b{f(x)}dx}}\)

(※\(x\)軸より下側は負の面積となる)

例)
\(y=-x^2\)と\(x\)軸および\(x=1\)、\(x=3\)で囲まれた部分の面積\(S\)は、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}S&=&\int_1^3{-f(x)}dx\\\\&=&\int_1^3{\{-(-x^2)\}}dx\\\\&=&\int_1^3{x^2}dx\\\\&=&\left[\frac{1}{3}x^3\right]_1^3\\\\&=&\frac{1}{3}(27-1)\\\\&=&\frac{26}{3}\end{eqnarray}}\)

となります。

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　3-2.2つの曲線の間の面積

2つの関数\(f(x)\)、\(g(x)\)が\(a{\le}x{\le}b\)の範囲で\(f(x){\ge}g(x)\)のとき、\(y=f(x)\)のグラフと\(y=g(x)\)のグラフの間の部分の面積を考えます。

上図斜線部の面積\(S\)は\(AEFB\)から\(ACDB\)を引いたものとなります。

\(AEFB\)部分の面積は、

\(\displaystyle{\int_a^b{f(x)}dx}\)

\(ACDB\)部分の面積は、

\(\displaystyle{\int_a^b{g(x)}dx}\)

なので、斜線部面積\(S\)は、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}S&=&\int_a^b{f(x)}dx-\int_a^b{g(x)}dx\\\\&=&\int_a^b{\{f(x)-g(x)\}}dx\end{eqnarray}}\)

で表されます。

次に、斜線部分全体が\(x\)軸の上側にないときを考えます。
2つのグラフを\(y\)軸方向に同じだけ移動させても、斜線部面積は変わらないので、斜線部全体が\(x\)軸の上側にくるように\(y\)軸の正の方向に\(k\)だけ移動させると下図のようになります。

このときの斜線部の面積\(S\)は、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}S&=&\int_a^b{\{f(x)+k\}}dx-\int_a^b{\{g(x)+k\}}dx\\\\&=&\int_a^b{\{f(x)-g(x)+k-k\}}dx\\\\&=&\int_a^b{\{f(x)-g(x)\}}dx\end{eqnarray}}\)

となります。

以上のことから、

\(a{\le}x{\le}b\)の範囲で、\(f(x){\ge}g(x)\)のとき\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)および2直線\(x=a\)、\(x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は、

\(\displaystyle{\textcolor{red}{S=\int_a^b{\{f(x)-g(x)\}}dx}}\)

と表せます。

例)

\(y=x^2-4\)と直線\(y=x+2\)で囲まれた部分の面積。

\(y=x^2-4\)と\(y=x+2\)の交点は、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&x^2-4=x+2\\\\\Leftrightarrow&&x^2-x-6=0\\\\\Leftrightarrow&&(x-3)(x+2)=0\end{eqnarray}}\)

より、\(x=-2 , 3\)

よって、グラフの概形は次のようになります。

よって、求める面積を\(S\)とすると、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}S&=&\int_{-2}^3{\{x+2-(x^2-4)\}}dx\\\\&=&\int_{-2}^3{-x^2+x+6}dx\\\\&=&=\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+6x\right]_{-2}^3\\\\&=&\left(-9+\frac{9}{2}+18\right)-\left(\frac{8}{3}+2-12\right)\\\\&=&\left(9+\frac{9}{2}\right)-\left(\frac{8}{3}-10\right)\\\\&=&19+\frac{27-16}{6}\\\\&=&\frac{114+11}{6}\\\\&=&\frac{125}{6}\end{eqnarray}}\)

となります。

今回は以上となります。

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