単位の計算・変換換算練習問題1 - 高校物理　理解の手助け

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{150m÷15s}&=&\mathrm{\frac{150m}{15s}}\\&=&\mathrm{\frac{150}{15}\frac{m}{s}}\\&=&\mathrm{10m/s}\end{eqnarray}}\)

と、聞かれている単位\(\mathrm{m/s}\)となりました。

よって答えは\(\mathrm{\underline{10m/s}}\)

【問題1-2の解答】

聞かれている単位は\(\mathrm{m}\)で与えられている単位は\(\mathrm{m/s}\)と\(\mathrm{s}\)です。

与えられた単位同士をどのように計算すれば、聞かれている単位\(\mathrm{m}\)がでてくるのかを考えます。

今回の場合、\(\mathrm{m/s}\)に\(\mathrm{s}\)を掛ければ単位\(\mathrm{s}\)が約分されて\(\mathrm{m}\)が残るので、速さと時間を掛けて

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{10m/s×5s}&=&\mathrm{10×5\frac{m・\textcolor{blue}{s}}{\textcolor{blue}{s}}}\\&=&\mathrm{50\frac{m・\textcolor{blue}{\cancel{s}}}{\textcolor{blue}{\cancel{s}}}}\\&=&\mathrm{50m}\end{eqnarray}}\)

と、聞かれている単位\(\mathrm{m}\)となりました。

よって答えは、\(\mathrm{\underline{50m}}\)

【問題1-3の解答】

問題文の条件から、\(\mathrm{100g}\)あたりの値段が分かっているので、

\(\mathrm{98円/100g}\)

これを\(\mathrm{1g}\)あたりの値段になおすと、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{98円/100g}&=&\mathrm{\frac{98円}{100g}}\\&=&\mathrm{\frac{98}{100}\frac{円}{g}}\\&=&\mathrm{0.98円/g}\end{eqnarray}}\)

となります。

\(\mathrm{0.98円/g}\)に\(\mathrm{150g}\)を掛けると\(\mathrm{g}\)が約分されて\(\mathrm{円}\)だけが残るので、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{0.98円/g×150g}&=&\mathrm{0.98×150\frac{円・\textcolor{blue}{g}}{\textcolor{blue}{g}}}\\&=&\mathrm{147\frac{円・\textcolor{blue}{\cancel{g}}}{\textcolor{blue}{\cancel{g}}}}\\&=&147円\end{eqnarray}}\)

と、聞かれている単位\(\mathrm{円}\)となりました。

よって答えは、\(\mathrm{\underline{147円}}\)

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2-1.単位の変換換算(接頭辞)/問題

【問題2-1】

\(\mathrm{100m}\)を\(\mathrm{10s}\)で進んだ物体がある。この物体の平均の速さは何\(\mathrm{km/h}\)か？

【問題2-2(面積)】

\(\mathrm{2m^2}\)は何\(\mathrm{cm^2}\)か？

【問題2-3(面積)】

\(\mathrm{25mm^2}\)は何\(\mathrm{cm^2}\)か？

【問題2-4(体積)】

\(\mathrm{3m^3}\)は何\(\mathrm{mm^3}\)か？

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2-2.単位の変換換算(接頭辞)/解答

【問題2-1の解答】

聞かれている単位は\(\mathrm{km/h}\)ですが、与えられている単位は\(\mathrm{m}\)と\(\mathrm{s}\)なので、単位を変換する必要があります。

まずは\(\mathrm{m}\)を\(\mathrm{km}\)に変換します。

\(\mathrm{1=10^{-3}×10^3}\)をつかって、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{100m}&=&\mathrm{100×\textcolor{red}{1}m}\\&=&\mathrm{100×\textcolor{red}{10^{-3}×10^3}m}\\&=&\mathrm{100×10^{-3}×\textcolor{green}{10^3}m}\\&=&\mathrm{100×10^{-3}\textcolor{green}{k}m}\\&=&\mathrm{0.1km}\end{eqnarray}}\)

次に、\(\mathrm{s}\)を\(\mathrm{h}\)に変換します。

\(\mathrm{1min=60s}\)

\(\mathrm{1h=60min}\)

\(\mathrm{1min=60s}\)から両辺1で割って\(\mathrm{min=60s}\)

これを\(\mathrm{1h=60min}\)に代入して

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{1h=60\textcolor{red}{min}}&=&\mathrm{60×\textcolor{red}{60s}}\\&=&\mathrm{3600s}\end{eqnarray}}\)

よって\(\mathrm{s}\)と\(\mathrm{h}\)の関係は、

\(\mathrm{1h=3600s}\)

この両辺を
\(\mathrm{3600}\)で割って

\(\mathrm{\frac{1}{3600}h=s}\)

これを\(\mathrm{10s}\)に代入して、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{10\textcolor{green}{s}}&=&\mathrm{10×\textcolor{green}{\frac{1}{3600}h}}\\&=&\mathrm{\frac{1}{360}h}\end{eqnarray}}\)

以上から、

\(\mathrm{100m=0.1km}\)
\(\mathrm{10s=\frac{1}{360}h}\)

がわかったので、時速\(\mathrm{km/s}\)を求めると、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{\frac{0.1km}{\frac{1}{360}h}}&=&\mathrm{0.1×360\frac{km}{h}}\\&=&\mathrm{36km/h}\end{eqnarray}}\)

以上から、答えは\(\mathrm{\underline{36km/h}}\)

今回は単位の変換を分けて考えましたが、慣れてきたら先に\(\mathrm{m/s}\)という秒速を作ってから時速に変換しても大丈夫です。

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{\frac{100m}{10\textcolor{red}{s}}}&=&\mathrm{\frac{100×10^{-3}×\textcolor{green}{10^3}m}{10×\textcolor{red}{\frac{1}{3600}h}}}\\&=&\mathrm{\frac{100×10^{-3}\textcolor{green}{k}m}{\frac{10}{3600}h}}\\&=&\mathrm{\frac{100×10^{-3}×3600}{10h}}\\&=&\mathrm{36km/h}\end{eqnarray}}\)

どの単位での解答が求められているのかに注意しましょう。

【問題2-2の解答】

\(\mathrm{cm^2=(cm)^2=c^2m^2}\)

\(\mathrm{c=10^{-2}}\)

なので、

\(\mathrm{c^2={(10^{-2})}^2=10^{-4}}\)

よって、\(\mathrm{10^{-4}}\)をつくることを目指します。

\(\mathrm{1=10^4×10^{-4}}\)を用いて、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{2m^2}&=&\mathrm{2×\textcolor{red}{1}m^2}\\&=&\mathrm{2×\textcolor{red}{10^4×10^{-4}}m^2}\\&=&\mathrm{2×10^4×\textcolor{green}{10^{-4}}m^2}\\&=&\mathrm{2×10^4\textcolor{green}{c^2}m^2}\\&=&\mathrm{2×10^4(cm)^2}\\&=&\mathrm{2×10^4cm^2}\\&=&\mathrm{20000cm^2}\end{eqnarray}}\)

よって、答えは\(\mathrm{\underline{20000cm^2}}\)となります。

【問題2-3の解答】

\(\mathrm{m^2}\)になおしてみると、

\(\mathrm{mm^2=(mm)^2=m^2m^2}\)

\(\mathrm{m=10^{-3}}\)

から、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{25mm^2}&=&\mathrm{25\textcolor{green}{m^2}m^2}\\&=&\mathrm{25×\textcolor{green}{{(10^{-3})}^2}m^2}\\&=&\mathrm{25×10^{-6}m^2}\end{eqnarray}}\)

となります。

ここで、

\(\mathrm{cm^2=(cm)^2=c^2m^2}\)

\(\mathrm{c=10^{-2}}\)

なので、

\(\mathrm{c^2={(10^{-2})}^2=10^{-4}}\)

よって、\(\mathrm{10^{-4}}\)をつくりたいので、\(\mathrm{1=10^4×10^{-4}}\)を使って単位を変換してもよいですが、\(\mathrm{25×10^{-6}m^2}\)をみてみると、\(\mathrm{10^{-6}}\)があるので、これに\(\mathrm{10^2}\)を掛けると\(\mathrm{10^{-4}}\)ができます。

よって今回は、\(\mathrm{1=10^2×10^{-2}}\)を使って、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{25mm^2}&=&\mathrm{25×10^{-6}m^2}\\&=&\mathrm{25×\textcolor{red}{1}×10^{-6}m^2}\\&=&\mathrm{25×\textcolor{red}{10^{-2}×10^2}×10^{-6}m^2}\\&=&\mathrm{25×10^{-2}×\textcolor{green}{10^{-4}}m^2}\\&=&\mathrm{25×10^{-2}\textcolor{green}{c^2}m^2}\\&=&\mathrm{0.25(cm)^2}\\&=&\mathrm{0.25cm^2}\end{eqnarray}}\)

よって、答えは\(\mathrm{\underline{0.25cm^2}}\)となります。

今回は、\(\mathrm{1=10^2×10^{-2}}\)を用いて変換しましたが、今までと同様に
\(\mathrm{c^2=10^{-4}}\)なので、\(\mathrm{1=10^{4}×10^{-4}}\)と考えても変換できます。

その場合は、\(\mathrm{10^{4}}\)と\(\mathrm{10^{-6}}\)が計算されて、今回見たのと同様に\(\mathrm{10^{-2}}\)が残ります。

【問題2-4の解答】

\(\mathrm{mm^3=(mm)^3=m^3m^3}\)

\(\mathrm{m=10^{-3}}\)

なので、

\(\mathrm{m^3={(10^{-3})}^3=10^{-9}}\)

よって、\(\mathrm{1=10^9×10^{-9}}\)を用いて変換します。

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{3m^3}&=&\mathrm{3×\textcolor{red}{1}m^3}\\&=&\mathrm{3×\textcolor{red}{10^9×10^{-9}}m^3}\\&=&\mathrm{3×10^9×\textcolor{green}{10^{-9}}m^3}\\&=&\mathrm{3×10^9\textcolor{green}{m^3}m^3}\\&=&\mathrm{3×10^9(mm)^3}\\&=&\mathrm{3×10^9mm^3}\end{eqnarray}}\)

以上から答えは、\(\mathrm{\underline{3×10^9mm^3}}\)となります。

今回は、ゼロの数が多くなってしまうので解答は指数表示のままにしておきます。

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3-1.単位の作成と組立単位/問題

【問題3-1】

ハンドルを1回転させると、人形が\(\mathrm{50cm}\)進むおもちゃがある。

このハンドルを\(\mathrm{18°}\)回転させると人形は何\(\mathrm{mm}\)進むか？

(ハンドルの回転数と人形が進む距離は比例するとする)

【問題3-2】

\(\mathrm{10000mm^2(=10^4mm^2)}\)の面積に\(\mathrm{3kN}\)の力がかかっているとき、圧力は何\(\mathrm{MP a}\)か？

※\(\mathrm{P a=N/m^2}\)である。

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3-2.単位の作成と組立単位/解答

【問題3-1の解答】

問題文でハンドル\(\mathrm{1}\)回転で\(\mathrm{50cm}\)進むと書いてありますが、言い換えるとハンドル\(\mathrm{1}\)回転あたり\(\mathrm{50cm}\)進むということです。

なので、これを用いて単位をつくると、

\(\displaystyle{\mathrm{\frac{50cm}{1回転}}}\)

となります。

ただし、聞かれているのは\(\mathrm{18°}\)回転させたときなので、角度の単位が欲しいです。

ここで、\(\mathrm{1}\)回転は\(\mathrm{360°}\)なので、

\(\displaystyle{\mathrm{1回転=360°}}\)

が成り立ちます。

これを用いて、つくった単位を変換すると、

\(\displaystyle{\mathrm{\frac{50cm}{\textcolor{red}{1回転}}=\frac{50cm}{\textcolor{red}{360°}}}}\)

となります。

今単位は\(\mathrm{360°}\)あたり(=\(\mathrm{1}\)回転あたり)となっているので、\(\mathrm{1°}\)あたり何\(\mathrm{cm}\)進むかになおすと、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{\frac{50cm}{360°}}&=&\mathrm{\frac{50}{360}\frac{cm}{°}}\\&=&\mathrm{\frac{50}{360}cm/°}\end{eqnarray}}\)

これで、\(\mathrm{1°}\)回転させたときに何\(\mathrm{cm}\)進むか分かったので、\(\mathrm{18°}\)を掛けて、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{\frac{50}{360}cm/°×18°}&=&\mathrm{\frac{50}{360}\frac{cm}{°}×18°}\\&=&\mathrm{\frac{50×18}{360}\frac{cm・\textcolor{blue}{°}}{\textcolor{blue}{°}}}\\&=&\mathrm{\frac{50×18}{360}\frac{cm・\textcolor{blue}{\cancel{°}}}{\textcolor{blue}{\cancel{°}}}}\\&=&\mathrm{2.5cm}\end{eqnarray}}\)

よって、\(\mathrm{18°}\)回転させたときには\(\mathrm{2.5cm}\)進むことがわかりました。

しかし聞かれている単位は\(\mathrm{mm}\)なので\(\mathrm{cm}\)から\(\mathrm{mm}\)へと変換します。

\(\mathrm{m=10^{-3}}\)なので、これをつくる形で、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{2.5\textcolor{green}{c}m}&=&\mathrm{2.5×\textcolor{green}{10^{-2}}m}\\&=&\mathrm{2.5×\textcolor{red}{1}×10^{-2}m}\\&=&\mathrm{2.5×\textcolor{red}{10^1×10^{-1}}×10^{-2}m}\\&=&\mathrm{2.5×10^1×\textcolor{green}{10^{-3}}m}\\&=&\mathrm{25\textcolor{green}{m}m}\end{eqnarray}}\)

よって答えは、\(\mathrm{\underline{25mm}}\)

【問題3-2の解答】

\(\mathrm{P a}\)の単位は、\(\mathrm{N/m^2}\)ですが、聞かれている単位は\(\mathrm{MP a}\)であることに注意しましょう。

まずは\(\mathrm{P a}\)を求めていきます。

与えられている数値の単位が、\(\mathrm{mm^2}\)と\(\mathrm{kN}\)なので、\(\mathrm{P a}\)を求めるためにそれぞれ\(\mathrm{m^2}\)と\(\mathrm{N}\)に変換していきます。

\(\mathrm{mm^2=(mm)^2=m^2m^2}\)

\(\mathrm{m=10^{-3}}\)

なので、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{10^4mm^2}&=&\mathrm{10^4\textcolor{green}{m^2}m^2}\\&=&\mathrm{10^4×\textcolor{green}{{(10^{-3})}^2}m^2}\\&=&\mathrm{10^4×10^{-6}m^2}\\&=&\mathrm{10^{-2}m^2}\end{eqnarray}}\)

また、\(\mathrm{k=10^3}\)なので、

\(\displaystyle{\mathrm{3\textcolor{green}{k}N}=\mathrm{3×\textcolor{green}{10^3}N}}\)

これらから\(\mathrm{P a}\)を求めると

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{\frac{3×10^3N}{10^{-2}m^2}}&=&\mathrm{\frac{3×10^3}{10^{-2}}\frac{N}{m^2}}\\&=&\mathrm{3×10^3×10^2\frac{\textcolor{green}{N}}{\textcolor{green}{m^2}}}\\&=&\mathrm{3×10^5\textcolor{green}{P a}}\end{eqnarray}}\)

これで\(\mathrm{P a}\)は求まりましたが、聞かれているのは\(\mathrm{MP a}\)なので変換していきます。

\(\mathrm{M=10^6}\)であり、現在\(\mathrm{10^5}\)があるので\(\mathrm{1=10^{-1}×10^1}\)を用います。

実際に変換すると、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\mathrm{3×10^5P a}&=&\mathrm{3×\textcolor{red}{1}×10^5P a}\\&=&\mathrm{3×\textcolor{red}{10^{-1}×10^1}×10^5P a}\\&=&\mathrm{3×10^{-1}×\textcolor{green}{10^6}P a}\\&=&\mathrm{0.3\textcolor{green}{M}P a}\end{eqnarray}}\)

よって答えは、\(\mathrm{\underline{0.3MPa}}\)

今回は以上になります。

少しでも実際に変換する際にどのように考え計算を行うかをみにつけてもらえると幸いです。

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