三角関数練習問題2:公式など
こちらは、これまで解説してきた三角関数の練習問題となります。
なるべく、物理で用いるような内容にしましたので、解いてみてください。
サイトを設立しました。
こちらでも解説しているのでよろしくお願いします。
Twitterアカウント→@roke_blog
目次
1-1.三角方程式/問題
\(\mathbf{(問題1-1)}\)
\(0\le\theta\le2\pi\)の範囲で、\(3\sin(2\theta+\frac{\pi}{2})=0\)となる\(\theta\)を求めよ。
1-2.三角方程式/解答
\(\mathbf{(問題1-1の解答)}\)
問題の式を変形して、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&3\sin(2\theta+\frac{\pi}{2})=0\\\Leftrightarrow&&\sin(2\theta+\frac{\pi}{2})=0\end{eqnarray}}\)
ここで、\(\displaystyle{2\theta+\frac{\pi}{2}=t}\)とおくと、
\(\sin{t}=0\)
このときの\(t\)の範囲は、\(\theta\)の範囲\(0\le\theta\le2\pi\)から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}0\le\theta\le2\pi&\Leftrightarrow&0\le2\theta\le4\pi\\\\&\Leftrightarrow&\frac{\pi}{2}\le2\theta+\frac{\pi}{2}\le\frac{9}{2}\pi\\\\&\Leftrightarrow&\frac{\pi}{2}\le{t}\le\frac{9}{2}\pi\end{eqnarray}}\)
この\(t\)の範囲で\(\sin{t}=0\)となる\(t\)の値は、
\(\displaystyle{t=\pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi}\)
となる。
(例えば、\(t=\pi\)のとき\({\sin}t=\sin\pi=0\)となる)
よって、\(t=\pi\)のとき
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}t=\pi&\Leftrightarrow&2\theta+\frac{\pi}{2}=\pi\\&\Leftrightarrow&\theta=\frac{\pi}{4}\end{eqnarray}}\)
同様にして、
\(\displaystyle{t=2\pi\Leftrightarrow\theta=\frac{3}{4}\pi}\)
\(\displaystyle{t=3\pi\Leftrightarrow\theta=\frac{5}{4}\pi}\)
\(\displaystyle{t=4\pi\Leftrightarrow\theta=\frac{7}{4}\pi}\)
以上から、解答は
\(\displaystyle{\underline{\theta=\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi}}\)
2-1.和→積の公式/問題
\(\mathbf{(問題2-1)}\)
\(y_{A}=K\sin(\theta-\alpha)\), \(y_{B}=-K\sin(\theta+\alpha)\)とする。
\(y_{A}+y_{B}\)を積の形で表せ。
2-2.和→積の公式/解答
\(\mathbf{(問題2-1の解答)}\)
和から積への変換公式を用います。(自分で導ける方が良い)
\(y_{A}\)も\(y_{B}\)も\(\sin\)の式なので、\(\sin\)の加法定理は、
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \cdots①\)
\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \cdots②\)
\(y_{B}\)の右辺の係数がマイナスなので、\((①-②)\)から
\(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\ \cdots③\)
ここで、\(\alpha+\beta=A, \alpha-\beta=B\)とするとこれらを足し引きして
\(\displaystyle{\alpha=\frac{A+B}{2}}\)
\(\displaystyle{\beta=\frac{A-B}{2}}\)
これを\(③\)に代入して、
\(\displaystyle{{\sin}A-{\sin}B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}} \cdots④\)
これが、和(差)→積への変換公式となります。
\(y_{A}\)と\(y_B\)の形から、
\(A=\theta-\alpha\), \(B=\theta+\alpha\)とすると、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{A+B}{2}&=&\frac{(\theta-\alpha)+(\theta+\alpha)}{2}\\&=&\frac{2\theta}{2}\\&=&\theta\end{eqnarray}}\)
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{A-B}{2}&=&\frac{(\theta-\alpha)-(\theta+\alpha)}{2}\\&=&-\frac{2\alpha}{2}\\&=&-\alpha\end{eqnarray}}\)
これを\(④\)に代入すると、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&{\sin}A-{\sin}B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\\\Leftrightarrow&&\sin(\theta-\alpha)-\sin(\theta+\alpha)=2\cos\theta\sin(-\alpha)\end{eqnarray}}\)
以上から、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y_{a}+y_{B}&=&K\sin(\theta=\alpha)-K\sin(\theta+\alpha)\\&=&K\{\sin(\theta^\alpha)-\sin(\theta+\alpha)\}\\&=&2K\cos\theta\sin(-\alpha)\end{eqnarray}}\)
よって、解答は
\(\underline{2K\cos\theta\sin(-\alpha)}\)
となります。
※\(\sin(-\theta)=-\sin\theta\)を用いると、\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)なので、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}2K\cos\theta\sin(-\alpha)&=&2K\cos\theta(-\sin\alpha)\\\\&=&-2K\cos\theta\sin\alpha\end{eqnarray}}\)
とも書けます。
3-1.θの条件/問題
\(\mathbf{(問題3-1)}\)
問題2-1の解答を用いて、どのような\(\alpha\)の値でも\(y_{A}+y_{B}=0\)となる\(\theta\)の値を求めよ。
3-2.θの条件/解答
\(\mathbf{(問題3-1)の解答}\)
条件から、
\(y_{A}+y_{B}=2K\textcolor{red}{\cos\theta}\textcolor{blue}{\sin(-\alpha)}\)
上の式から、
\(\textcolor{red}{\cos\theta}\)は\(\textcolor{red}{\thetaの項}\)
\(\textcolor{blue}{\sin(-\alpha)}\)は\(\textcolor{blue}{\alphaの項}\)
となります。
\(\alpha\)がどのような値をとってもというのは、\(\textcolor{blue}{\alphaの項}\)である\(\textcolor{blue}{\sin(-\alpha)}\)がどのような値をとってもということになります。
\(\alpha\)がいろいろな値をとっていくと、 \(\textcolor{blue}{\alphaの項}\) である \(\textcolor{blue}{\sin(-\alpha)}\)も様々な値をとっていきますが、\(\textcolor{red}{\thetaの項}\)である\(\textcolor{red}{\cos\theta}\)が\(0\)であれば、\(y_{A}+y_{B}\)は、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y_{A}+y_{B}&=&2K\textcolor{red}{\cos\theta}\textcolor{blue}{\sin(-\alpha)}\\&=&2K×\textcolor{red}{0}×\textcolor{blue}{\sin(-\alpha)}\\&=&0\end{eqnarray}}\)
というように\(\textcolor{blue}{\alpha}\)の値、すなわち\(\textcolor{blue}{\sin(-\alpha)}\)の値に関係なく\(0\)となります。
よって、問題文の条件を満たすには
\(\textcolor{red}{\cos\theta}=0\)
であればよいです。
\(\textcolor{red}{\cos\theta}=0\)となるのは、
\(\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi, \frac{5}{2}\pi, \cdots =\frac{\pi}{2}+n\pi} (nは整数)\)
以上から、\(\alpha\)がどのような値でも\(y_{A}+y_{B}=0\)となる\(\theta\)の値は
\(\displaystyle{\underline{\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi (nは整数)}}\)
となります。
