高校物理を理解するために　単位について2　単位の換算

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こちらでも解説しているのでよろしくお願いします。

単位の換算説明の前に

SI接頭辞とは、km(キロメートル)やcm(センチメートル)、mm(ミリメートル)などのm(メートル)の前についている、k(キロ)やc(センチ)、m(ミリ)などの文字のことです。
この接頭辞とは、何倍しているかを表しています。
以下にいくつかの接頭辞と、何倍を表しているのかを示します。

G(ギガ)=1000000000= $\displaystyle 10^9$

M(メガ)=1000000= $\displaystyle 10^6$

k(キロ)=1000= $\displaystyle 10^3$

c(センチ)= $\displaystyle \frac{1} {100}$ = $\displaystyle 10^{-2}$

m(ミリ)= $\displaystyle \frac{1}{1000}$ = $\displaystyle 10^{-3}$

μ(マイクロ)= $\displaystyle \frac{1}{1000000}$ = $\displaystyle 10^{-6}$

n(ナノ)= $\displaystyle \frac{1}{1000000000}$ = $\displaystyle 10^{-9}$

SI接頭辞は他にもいろいろとあるので、興味があれば調べてみて下さい。

単位の換算とSI接頭辞

さて、みなさんは単位の換算をするときにはどうしているでしょうか？
例えばkm(キロメートル)からm(メートル)に換算する際には、1000倍すればよいということは知っていると思います。
では、なぜ千倍すればよいのか？
これには接頭辞のk(キロ)が関係してきます。
下の画像を見てください。

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K(キロ)=1000なので、km(キロメートル)中の接頭辞であるk(キロ)を数字になおすと、単位がm(メートル)となります。

では、m(メートル)からkm(キロメートル)に換算するにはどうすればよいでしょうか。下の画像を見てください。

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まず1を掛けても数値は変わらないので1を掛けましょう。次に、K(キロ)=1000なので1000という数字が欲しいです。なので、1を $\displaystyle \frac{1000}{1000}$ と考えましょう。 $\displaystyle \frac{1000}{1000}$ は約分すると1になるので問題ありません。ここで1000という数字がでてきたので、これをk(キロ)になおします。K(キロ)=1000なので問題ないですね。ここでm(メートル)からkm(キロメートル)への換算ができました。残ったのは、 $\displaystyle \frac{1}{1000}$ = $\displaystyle 10^{-3}$ です。よってm(メートル )からkm(キロメートル)へと換算するには、1000で割ればよい( $\displaystyle 10^{-3}$ を掛ければ良い)とわかりました。

練習問題を出してみます。

[問題]
100mを10sで進んだ物体がある。この物体の平均の速さは何km/hか？

速さを求めましょう。100mを10sで進んでいるので、

100m÷10s= $\displaystyle \frac{100m}{10s}$ =10m/s

です。しかし問われている速さはkm/h(キロメートル毎時:1時間に何km進むか)です。このままだと単位がm/sなので単位の換算をします。まずは、m(メートル)をkm(キロメートル)へ換算します。

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上記説明と同様に、1を掛けて分数になおし、でてきた1000をk(キロ)になおします。
次に、s(秒)をh(時)になおします。

1h(時間)は3600s(秒)なので下記式をつくります。

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上記のは左の等式の両辺を1hで割った結果、右の等式になっています。

この式を使って単位を換算していきます。

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ここでも、1を掛けても数値は変化しないことから、作ったs(秒)とh(時間)の関係式を利用して換算しています。
もちろん先にm(メートル)をkm(キロメートル)に、s(秒)をh(時間)に換算してから速さ(時速)を求めてもいいです。

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上で作った、s(秒)とh(時間)の関係式をそのまま使うなら、単位を換算する際には割り算をしましょう。今欲しい単位はh(時間)ですが、掛けてしまうと単位が $\displaystyle \frac{s^2}{h}$ となってしまいます。
1h=3600sという関係から、 $\displaystyle 1=\frac{1h}{3600s}$ という式を作れば、掛けることで単位はh(時間)になります。

問題を解く際には、どの単位での解答を求められているのかに注意しましょう。

面積や体積について

次に、面積や体積に関する単位についてです。 $\displaystyle m^2$ (平方メートル)から $\displaystyle cm^2$ (平方センチメートル)や $\displaystyle m^3$ (立方メートル)から $\displaystyle cm^3$ (立方センチメートル)に換算する場合です。

下の図のように習った人もいると思います。

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m(メートル)とcm(センチメートル)で体積を比較すると、 $\displaystyle 10^6$ 違うので、この数値を掛けたり割ったりして換算するのだと。
間違いではないと思うのですが、わかりにくいとは思います。
前回単位も掛けたり割ったりできるという話をしましたが、なぜ $\displaystyle cm^2$ という単位はm(メートル)の2乗という形になっているのでしょうか？cm×cmをすれば単位は $\displaystyle {c^2}{m^2}$ になるとは思いませんか？
実は $\displaystyle cm^2$ は $\displaystyle {c^2}$ の２乗が省略してあるだけなのです。なので、換算する際にはこの部分に気をつけて変換すればよいのです。練習問題を解いてみましょう。

[問題]
1問　2 $\displaystyle {m^2}$ は何 $\displaystyle {cm^2}$ か？
2問　3 $\displaystyle {m^3}$ は何 $\displaystyle {mm^3}$ か？

1問目についてです。
$\displaystyle {m^2}$ (平方メートル)を $\displaystyle {cm^2}$ (平方センチメートル)に換算する問題ですね。
これも接頭辞に注目すればよいです。まず、 $\displaystyle {cm^2}$ についてみていきましょう。
$\displaystyle {cm^2}$ とは、 $\displaystyle {c^2}{m^2}$ のc(センチ)の２乗が省略されている形でしたね。
また、C(センチ)= $\displaystyle \frac{1}{100}$ = $\displaystyle 10^{-2}$ のことでした。なので、

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よって、先ほどみていた問題同様、 $\displaystyle 10^{-4}$ を作ることを目指します。
解答は以下のようになります。

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つづいて2問目についてです。
こちらは、 $\displaystyle {m^3}$ を $\displaystyle {mm^3}$ に変換する問題です。m(ミリ)= $\displaystyle \frac{1}{1000}$ = $\displaystyle 10^{-3}$ を念頭において考えて行きましょう。
解答は以下のようになります。

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