5-1.微分係数と導関数
微分は物理において、速度や加速度の定義に用いられています。
今回は、微分についての基礎的な部分の解説となりますが、図形的な意味などを理解するようにしていただきたいです。
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こちらでも解説しているのでよろしくお願いします。
→5-3.様々な関数(分数関数/無理関数/逆関数/合成関数)
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目次
1.微分係数
1-1.平均変化率
関数\(y=f(x)\)において、\(x\)が\(a\)から\(b\)まで変化するとき、
\(\displaystyle{\frac{\bf{yの変化量}}{\bf{xの変化量}}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)
上記を\(x=a\)から\(x=b\)までの\(f(x)\)の平均変化率といいます。
平均変化率は下図のように2点\(A(a , f(a))\)と\(B(b , f(b))\)を通る直線\(AB\)の傾きを表しています。
(直角三角形の底辺が\(\textcolor{red}{b-a}\)、高さが\(\textcolor{red}{f(b)-f(a)}\)となる)
例)\(f(x)=x^2+x\)の\(x=2\)から\(x=5\)までの平均変化率は、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{f(5)-f(2)}{5-2}&=&\frac{(5^2+5)-(2^2+2)}{5-2}\\\\&=&\frac{30-6}{5-2}\\\\&=&\frac{24}{3}\\\\&=&8\end{eqnarray}}\)
となります。
1-2.極限値
例として、\(f(x)=x^2\)の\(x=2\)から\(x=2+h\)までの平均変化率を求めてみます。
上記平均変化率は、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{f(2+h)-f(2)}{(2+h)-2}&=&\frac{(2+h)^2-2^2}{h}\\\\&=&\frac{h^2+4h}{h}\\\\&=&\frac{h(h+4)}{h}\\\\&=&h+4\end{eqnarray}}\)
この平均変化率\(h+4\)の\(h\)を限りなく\(0\)に近づけると、\(h+4\)は限りなく\(4\)に近づきます。
(\(h\)は\(0\)に近づき、\(h+4\)の\(4\)だけが残る)
このとき、\(h+4\)の極限値は\(4\)であるといい、記号\(\lim\)を用いて
\(\displaystyle{\lim_{h\to0}(h+4)=4}\)
と表記します。
そのほかの例として、
\(\displaystyle{\lim_{h\to0}(2+3h+h^2)=2}\)
となります。
(※\(h\)を限りなく\(0\)に近づけると、\(3h\)は\(0\)に、\(h^2\)も\(0\)にそれぞれ近づく)
1-3.微分係数
関数\(f(x)\)の\(x=a\)から\(x=a+h\)までの平均変化率、
\(\displaystyle{\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}\)
において、\(h\)が\(0\)に近づくとき、この平均変化率が限りなく一定の値に近づくなら、その極限値を関数\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数または変化率といい、\(f'(a)\)で表します。
式で表すと、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}f'(a)&=&\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\end{eqnarray}}\)
となります。
次に、微分係数の図形的意味についてみていきます。
\(y=f(x)\)上の点\(A(a , f(a))\)と点\(H(a+h , f(a+h))\)を考えます。
平均変化率は、
\(\displaystyle{\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}\)
となります。
この平均変化率の\(h\)を\(0\)に近づけていった場合を考えると、
以上から、
☆関数\(y=f(x)\)のグラフ上の点\(A(a , f(x))\)における接線の傾きは、関数\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数\(f'(a)\)に等しい
ということがいえます。
例)\(y=x^2\)のグラフ上の点\(3 , 9\)における接線の傾きは
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\lim_{h\to0}\frac{f(3+h)-f(3)}{(3+h)-3}&=&\lim_{h\to0}\frac{(3+h)^2-3^2}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{6h+h^2}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{h(6+h)}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}(6+h)\\\\&=&6\end{eqnarray}}\)
となります。
2.導関数とその計算
2-1.導関数
これまでは、\(x=a\)というある値について微分係数(変化率)を考えてきましたが、一般的に考えるために変数\(x\)と、これを\(h\)だけ増加させた\(x+h\)で考えてみます。
このとき、微分係数を考える際と同様に考えて、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}f'(x)&=&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{eqnarray}}\)
となります。
この\(f'(x)\)を\(\textcolor{red}{\bf{"導 関数"}}\)といいます。
※微分係数と導関数の違いについては、
微分係数→ある関数の特定の点における変化率の値で"定数"となる
導関数→ある関数のある点における変化率を表す"関数"
という違いがあります。
例として、(1-3.微分係数)で扱った微分係数と同様に\(f(x)=x^2\)で考えると、導関数は
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}f'(x)&=&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{h(2x+h)}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}(2x+h)\\\\&=&2x\end{eqnarray}}\)
となります。
これは、\(f(x)=x^2\)上の任意の点における接線の傾きが\(2x\)であることを示しています。
試しに、(1-3.微分係数)と同様、点\( (3 , 9)\)を考えて、\(x=3\)を\(f'(x)=2x\)に代入すると
\(f'(3)=2×3=6\)
となって、傾きは\(6\)という同様の結果が得られます。
\(y=f(x)\)の導関数の表記に関して、\(f'(x)\)の他にも、\(y'\)や\(\frac{dy}{dx}\)で表すこともあります。
\(\underline{\bf{練習問題}}\)
次の関数の導関数を求めよ。
\(\displaystyle{※\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}を用いる}\)
\(1)f(x)=5\)
\(2)f(x)=x\)
\(3)f(x)=x^3\)
\(\underline{\bf{練習問題解答}}\)
\(1)\)
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}f'(x)&=&\lim_{h\to0}\frac{5-5}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{0}{h}\\\\&=&0\end{eqnarray}}\)
\(2)\)
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}f'(x)&=&\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{h}{h}\\\\&=&1\end{eqnarray}}\)
\(3)\)
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}&=&\lim_{h\to0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)\\\\&=&3x^2\end{eqnarray}}\)
問題の答えと、先ほど扱った\(f(x)=x^2\)の導関数\(f'(x)=2x\)の結果をまとめると、
\((5)'=0\)
\((x)'=1\)
\((x^2)'=2x\)
\((x^3)'=3x^2\)
となります。
この結果をみてみると、関数\(x^n\)の導関数は\(nx^{n-1} (n=1,2,3)\)、定数関数の導関数は\(0\)となっていることが分かります。
一般に、
\(\textcolor{red}{\bf{関数}}\)\(\textcolor{red}{x^n}\)\(\textcolor{red}{\bf{の導 関数は}}\)
\(\textcolor{red}{(x^n)'=nx^{n-1} (n=1,2,3) \cdots①}\)
\(\textcolor{red}{\bf{定数関数}}\)\(\textcolor{red}{C}\)\(\textcolor{red}{\bf{の導 関数は}}\)
\(\textcolor{red}{(C)'=0}\)
となります。
(※定数関数とは、変数を含まない定数のみ(一定の値しかとらない)関数のこと)
\(①\)について示します。
自然数(\n\)について、
二項定理から、
\(\begin{eqnarray}&&(x+h)^n\\\\=&&x^n+{}_nC_1x^{n-1}×h+{}_nC_2x^{n-2}×h^2+\cdots+{}_nC_nh^n\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}&&(x+h)^n-x^n\\\\=&&{}_nC_1x^{n-1}×h+{}_nC_2x^{n-2}×h^2+\cdots+{}_nC_nh^n\end{eqnarray}\)
これから、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\frac{d}{dx}x^n\\\\&=&(x^n)'\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{h({}_nC_1x^{n-1}+{}_nC_2x^{n-2}×h+\cdots+{}_nC_nh^{n-1})}{h}\\\\&=&{}_nC_1x^{n-1}\\\\&=&nx^{n-1}\end{eqnarray}}\)
となります。
\((x+h)^n-x^n\)を\(h\)でくくると、分母の\(h\)で約分されます。
また、\({}_nC_nx^{n-1}\)を除く項には\(h\)が含まれており、\(h\to0\)によって\(h\)を含む項は\(0\)へ近づいていきます。
従って、
\((x^n)'=nx^{n-1}\)
となります。
これは、\(n=1,2,3\)だけではなく、自然数で成り立ちます。
2-2.関数の微分
\(\textcolor{red}{\bf{関数}}\)\(\textcolor{red}{f(x)}\)\(\textcolor{red}{\bf{から導 関数}}\)\(\textcolor{red}{f'(x)}\)\(\textcolor{red}{\bf{を求めることを、}}\)\(\textcolor{red}{f(x)}\)\(\textcolor{red}{\bf{を}}\)\(\textcolor{red}{x}\)\(\textcolor{red}{\bf{で微 分する}}\)といいます。
\(\underline{\bf{定数倍・和・差の導 関数}}\)
一般に定数倍・和・差の導関数について、以下のことが成り立ちます。
\(\underline{定数倍について}\)
\(k\)を定数とすると
\(y=kf(x)\)を微分すると \(y'=kf'(x) \cdots①\)
\(\underline{和について}\)
\(y=f(x)+g(x)\)を微分すると \(y'=f'(x)+g'(x) \cdots②\)
\(\underline{差について}\)
\(y=f(x)-g(x)\)を微分すると \(y'=f'(x)-g'(x) \cdots③\)
以下に計算例を載せておきます。
\(\underline{①の計算例}\)
\(f(x)=x^3\)とし、\(y=3f(x)\)を微分すると、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\lim_{h\to0}\frac{3f(x+h)-3f(x)}{(x+h)-x}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{3\{f(x+h)-f(x)\}}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{3}{h}\{(x+h)^3-x^3\}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{3}{h}(3x^2h+3xh^2+h^3)\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{3h}{h}(3x^2+3xh+h^2)\\\\&=&\lim_{h\to0}3(3x^2+3xh+h^2)\\\\&=&3・(3x^2)\end{eqnarray}}\)
以上から、
\(\begin{eqnarray}y'&=&3f'(x)\\\\&=&3・(x^3)'\\\\&=&3・3x^2\end{eqnarray}\)
となります。
\(\underline{②の計算例}\)
\(f(x)=x^3\)、\(g(x)=x^2\)とします。
このとき、\(y=f(x)+g(x)\)すなわち\(y=x^3+x^2\)の導関数は
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\lim_{h\to0}\frac{\{(x+h)^3+(x+h)^2-(x^3+x^2)\}}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{[\{(x+h)^3-x^3\}+\{(x+h)^2-x^2\}]}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{\{(3x^2h+3xh^2+h^3)+(2xh+h^2)\}}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\{(3x^2+3xh+h^2)+(2x+h^2)\}\\\\&=&3x^2+2x\end{eqnarray}}\)
以上から、
\(\begin{eqnarray}y'&=&f'(x)+g'(x)\\\\&=&(x^3)'+(x^2)'\\\\&=&3x^2+2x\end{eqnarray}\)
となります。
\(\underline{③の計算例}\)
\(f(x)=x^3\)、\(g(x)=x^2\)とします。
このとき、\(y=f(x)-g(x)\)すなわち\(y=x^3-x^2\)の導関数は
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\lim_{h\to0}\frac{\{(x+h)^3-(x+h)^2-(x^3-x^2)\}}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{[\{(x+h)^3-x^3\}-\{(x+h)^2-x^2\}]}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{\{(3x^2h+3xh^2+h^3)-(2xh+h^2)\}}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\{(3x^2+3xh+h^2)-(2x+h^2)\}\\\\&=&3x^2-2x\end{eqnarray}}\)
以上から、
\(\begin{eqnarray}y'&=&f'(x)-g'(x)\\\\&=&(x^3)'-(x^2)'\\\\&=&3x^2-2x\end{eqnarray}\)
となります。
計算過程は、上記計算例と同様になりますが、\(①～③\)を証明しておきます。
\(\underline{①について}\)
\(k\)を定数として、\(y=kf(x)\)の導関数を考える。
微分の定義から、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\lim_{h\to0}\frac{kf(x+h)-kf(x)}{h}\\\\&=&\frac{k\{f(x+h)-f(x)\}}{h}\end{eqnarray}}\)
ここで、\(\lim_{h\to0}\)ですが、定数\(k\)は\(h\)とは関係なく、\(\lim\)の前に出しても計算は成り立つので、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\frac{k\{f(x+h)-f(x)\}}{h}\\\\&=&k\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{eqnarray}}\)
また、
\(\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\)
は微分の定義そのもので、
\(\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)\)
なので、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&k\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\&=&kf'(x)\end{eqnarray}}\)
以上から、
\(\textcolor{red}{y=kf(x)}\)\(\textcolor{red}{\bf{を微 分すると、}}\)\(\textcolor{red}{y'=kf'(x)}\)\(\textcolor{red}{\bf{となります。}}\)
\(\underline{②について}\)
\(y=f(x)+g(x)\)の導関数を考えます。
微分の定義から、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)+g(x+h)\}-\{f(x)+g(x)\}}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)-f(x)\}+\{g(x+h)-g(x)\}}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\}\end{eqnarray}}\)
ここで、
\(\displaystyle{lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\)
\(\displaystyle{lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}\)
はどちらも微分の定義そのものなので、
\(\displaystyle{lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)}\)
\(\displaystyle{lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)}\)
となります。
よって、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\lim_{h\to0}\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\}\\\\&=&f'(x)+g'(x)\end{eqnarray}}\)
以上から、
\(\textcolor{red}{\underline{y=f(x)+g(x)}}\)\(\textcolor{red}{\underline{\bf{を微 分すると、}}}\)\(\textcolor{red}{\underline{y'=f'(x)+g'(x)}}\)\(\textcolor{red}{\underline{\bf{となります。}}}\)
\(\underline{③について}\)
\(②\)における符合を、マイナスに変えて同様の計算をしていくと導けます。
\(y=f(x)-g(x)\)の導関数を考えます。
微分の定義から、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)-g(x+h)\}-\{f(x)-g(x)\}}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)-f(x)\}-\{g(x+h)-g(x)\}}{h}\\\\&=&\lim_{h\to0}\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\}\end{eqnarray}}\)
ここで、
\(\displaystyle{lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\)
\(\displaystyle{lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}\)
はどちらも微分の定義そのものなので、
\(\displaystyle{lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)}\)
\(\displaystyle{lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)}\)
となります。
よって、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\lim_{h\to0}\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\}\\\\&=&f'(x)-g'(x)\end{eqnarray}}\)
以上から、
\(\textcolor{red}{\underline{y=f(x)-g(x)}}\)\(\textcolor{red}{\underline{\bf{を微 分すると、}}}\)\(\textcolor{red}{\underline{y'=f'(x)-g'(x)}}\)\(\textcolor{red}{\underline{\bf{となります。}}}\)
これら、定数倍・和・差の導関数の性質を用いると、下記のような関数についても導関数を求めることができます。
例)\(y=3x^3+2x^2-6x+2\)の導関数
\(\begin{eqnarray}y'&=&3・(x^3)'+2・(x^2)'-6(x)'+(2)'\\\\&=&3・(3x^2)+2・(2x)-6・1+0\\\\&=&9x^2+4x-6\end{eqnarray}\)
上記のように計算することができます。
2-3.\(x\)以外での微分
変数が\(x\)や\(y\)以外の関数についても、導関数を考えてみます。
例として、下記\(t\)の関数についてみてみます。
例)\(S(t)=t^3-2t^2+5\)
この関数を\(t\)で微分する際、下記のような表記を用います。
\(\displaystyle{\frac{d}{dt}S(t)}\)
この表記の意味は以下のようになります。
また、導関数は
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{d}{dt}S(t)&=&s'(t)\\\\&=&(t^3)'-2(t^2)'+(5)'\\\\&=&3t^2-4t\end{eqnarray}}\)
となります。
今回は以上となります。
