5-5.微分法とその応用 - 高校物理　理解の手助け

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}f'(x)&=&\frac{dy}{dx}\\\\&=&\lim_{\Delta{x}\to0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}\\\\&=&\lim_{\Delta{x}\to0}\frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}\end{eqnarray}}\)

　となる。

2.導関数の公式

2-1.積の微分公式

導関数の公式には以下のようなものがあります。

関数\(f(x)、g(x)\)がともに微分可能であるとき、

\(\displaystyle{\left.\begin{eqnarray}&&\{kf(x)\}'=kf'(x)\\\\&&\{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x)\\\\&&\{f(x)-g(x)\}'=f'(x)-g'(x)\end{eqnarray}\right\}\bf{復習※1}}\)

\(\displaystyle{\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\cdots①}\)

(※1)については、微分係数と導関数で扱いました。

\(①\)の公式を、\(\textcolor{red}{\bf{"積の微分公式"}}\)といいます。

\(\underline{\bf{①について}}\)

これを導関数の定義から証明します。

定義から、

\(\displaystyle{\small{\{f(x)g(x)\}'=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\cdots②}}\)

上式右辺の分子についてみてみます。

ここで、\(\{f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)\}\)を計算すると\(0\)となるのでこれを\(\bf{②式}\)に足しても問題ありません。

足すと、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)+\{f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)\}\\\\=&&\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h)+\{g(x+h)-g(x)\}f(x)\end{eqnarray}}\)

となります。

定義式全体では、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\lim_{h\to0}\frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h)+\{g(x+h)-g(x)\}f(x)}{h}\\\\=&&\lim_{h\to0}\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}f(x)\}\end{eqnarray}}\)

ここで、

\(\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)\)

\(\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x)\)

また、

\(\displaystyle{\lim_{h\to0}g(x+h)=g(x)}\)

なので、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\lim_{h\to0}\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}f(x)\}\\\\=&&f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\end{eqnarray}}\)

すなわち、

\(\displaystyle{\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\)

となります。

\(\underline{\bf{積の微分計算例)}}\)

\(y=(x^2+1)(2x^2+4)\)を\(x\)で微分してみます。

展開して微分してもいいですが、今回は積の微分公式を使います。

\(f(x)=x^2+1\)

\(g(x)=2x^2+4\)

とすると、

\(f'(x)=2x\)

\(g'(x)=4x\)

となります。

ここで、積の微分公式を用いると、

\(\displaystyle{\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\)

なので、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\{(x^2+1)(2x^2+4)\}'\\\\&=&(x^2+1)'(2x^2+4)+(x^2+1)(2x^2+4)'\\\\&=&2x(2x^2+4)+(x^2+1)・4x\\\\&=&(4x^3+8x)+(4x^3+4x)\\\\&=&8x^3+12x\end{eqnarray}}\)

となります。

この積の微分公式を用いると、自然数\(n\)における\( (x^n)'=nx^{n-1}\)を数学的帰納法で証明できます。
(微分係数と導関数では、二項定理を用いて証明した)

\(\underline{{\bf{帰納法を用いた}}{x^n}{\bf{の証明}}}\)

\(n=1\)のとき、\(x\)の微分は、

\(\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=1}\)

よって、\( (x^n)'=x^{n-1}\)

は成り立つ。

\(n=k\)のとき、\( (x^n)'=x^{n-1}\)が成り立つと仮定する。すなわち、\( (x^k)'=kx^{k- 1}\)が成り立つと仮定すると、

\(n=k+1\)のとき、積の微分公式を用いて、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}(x^{k+1 })'&=&(x・x^{k})'\\\\&=&(x)'・x^k+x・(x^k)'\\\\&=&x^k+x・(kx^{k- 1})\\\\&=&x^k+kx^k\\\\&=&(k+ 1)x^k\end{eqnarray}}\)

よって、\(n=k+1\)のときも成り立つ。

以上から、自然数\(n\)について

\( (x^n)'=nx^{n-1}\)

が成り立つ。

☆自然数\(n\)について、

\( (x^n)'=nx^{n-1}\)

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2-2.商の微分公式

商の導関数に関する公式は、以下のようになります。

i)　\(\displaystyle{\{\frac{1}{g(x)}\}'=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\)

ii)　\(\displaystyle{\{\frac{f(x)}{g(x)}\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\)

上記商の導関数について証明します。
iについては、導関数の定義式から、iiについては積の微分公式とiの式から導きます。

\(\underline{\bf{iについて}}\)

導関数の定義式から、

\(\displaystyle{\{\frac{1}{g(x)}\}'=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h}}\)

ここで、分子について通分すると

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\\\\=&&\frac{g(x)}{g(x+h)g(x)}-\frac{g(x+h)}{g(x+h)g(x)}\\\\=&&\frac{g(x)-g(x+h)}{g(x+h)g(x)}\\\\=&&-\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)g(x)}\end{eqnarray}}\)

よって、定義式は

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h}\\\\=&&\lim_{h\to0}{-\frac{g(x+h)-g(x)}{hg(x)g(x+h)}}\\\\=&&\lim_{h\to0}{-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}・\frac{1}{g(x)g(x+h)}}\end{eqnarray}}\)

上式について、

\(\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}\)

は導関数の定義そのものなので、\(g'(x)\)となります。

また、\(h\to0\)とすると、\(g(x+h)\to{g(x)}\)となるので、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\lim_{h\to0}\{-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}・\frac{1}{g(x)g(x+h)}\}\\\\=&&-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\end{eqnarray}}\)

以上から、

\(\displaystyle{\{\frac{1}{g(x)}\}'=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\)

となります。

\(\underline{\bf{iiについて}}\)

\(\displaystyle{\{\frac{f(x)}{g(x)}\}'=\{f(x)・\frac{1}{g(x)}\}'}\)

上式に対して、積の微分公式

\(\displaystyle{\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\)

を用いると、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\{f(x)・\frac{1}{g(x)}\}'&=&f'(x)・\frac{1}{g(x)}+f(x)\{\frac{1}{g(x)}\}'\end{eqnarray}}\)

ここで、商の微分公式

\(\displaystyle{\{\frac{1}{g(x)}\}'=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\)

を用いると、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&f'(x)・\frac{1}{g(x)}+f(x)\{\frac{1}{g(x)}\}'\\\\=&&f'(x)・\frac{1}{g(x)}+f(x)・\left[-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\right]\\\\=&&\frac{f'(x)g(x)}{\{g(x)\}^2}-\frac{f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\\\=&&\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\end{eqnarray}}\)

以上から、

\(\displaystyle{\{\frac{f(x)}{g(x)}\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\)

となります。

上記の2つの公式に関してですが、

\(\displaystyle{\{\frac{f(x)}{g(x)}\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\)

さえ覚えておけば\(f(x)=1\)として、

\(\displaystyle{\{\frac{1}{g(x)}\}'=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\)

を

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\{\frac{1}{g(x)}\}'&=&\frac{(1)'g(x)-1・g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\\\&=&\frac{0・g(x)-1・g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\\\&=&-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\end{eqnarray}}\)

のように、導くことができます。

下記に計算例を載せておきます。

iの計算例)

\(\displaystyle{y=\frac{1}{3x+1}}\)

を\(x\)で微分することを考えます。

\( (3x+1)'=3\)

なので、商の微分公式

\(\displaystyle{\{\frac{1}{g(x)}\}'=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\)

から、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\left(\frac{1}{3x+1}\right)'\\\\&=&-\frac{(3x+1)'}{(3x+1)^2}\\\\&=&-\frac{3}{(3x+1)^2}\end{eqnarray}}\)

となります。

iiの計算例)

\(\displaystyle{y=\frac{x^2}{x+1}}\)

を\(x\)で微分することを考えます。

\( (x^2)'=2x\)

\( (x+1)'=1\)

なので、商の微分公式

\(\displaystyle{\{\frac{f(x)}{g(x)}\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\)

を用いて、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\left(\frac{x^2}{x+1}\right)'\\\\&=&\frac{(x^2)'(x+1)-x^2(x+1)'}{(x+1)^2}\\\\&=&\frac{2x(x+1)-x^2・1}{(x+1)^2}\\\\&=&\frac{(2x^2+2x)-x^2}{(x+1)^2}\\\\&=&\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\end{eqnarray}}\)

となります。

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2-3.\(x^n\)の導関数(\(n\)が整数の時)

公式\( (x^n)'=nx^{n-1}\)が正の整数(自然数)\(n\)について成り立つことは、これまでに示してきました。
商の微分公式を用いると、負の整数の場合にも成り立つことを示すことができます。

正の整数を\(m\)として、\(n=-m\)とすると、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}(x^n)'&=&(x^{-m})'\\\\&=&\left(\frac{1}{x^m}\right)'\end{eqnarray}}\)

これに、商の微分公式

\(\displaystyle{\{\frac{1}{g(x)}\}'=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\)

を用いて、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\left(\frac{1}{x^m}\right)'&=&-\frac{(x^m)'}{{(x^m)}^2}\\\\&=&-\frac{mx^{m- 1}}{x^{2m}}\end{eqnarray}}\)

\(\displaystyle{\frac{1}{x^{2m}}}\)を指数表示にすると、\(x^{-2m}\)となるので、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}-\frac{mx^{m- 1}}{x^{2m}}&=&-m(x^{m- 1})・(x^{-2m})\\\\&=&-mx^{m- 1-(2m)}\\\\&=&-mx^{-m- 1}\\\\&=&nx^{n- 1}　(∵n=-m)\end{eqnarray}}\)

従って、公式\( (x^n)'=nx^{n- 1}\)は\(n\)が負の整数についても成り立ちます。

また、\(n=0\)のとき、\(x^0=1\)なので、このときも上記公式は成り立ちます。

以上のことから、一般に

\(\textcolor{red}{{n}{\bf{が整数のとき}}}\)

\(\displaystyle{\textcolor{red}{(x^n)'=nx^{n-1}}}\)

となります。

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3.合成関数の微分法

合成関数\(y=f(g(x))\)の導関数を、2つの関数\(y=f(u)\)と\(u=g(x)\)の導関数で表すことを考えてみます。
\(u\)の関数\(y=f(u)\)と、\(x\)の関数\(u=g(x)\)がともに微分可能な時、\(x\)の増分\(\Delta{x}\)に対する\(u\)の増分を\(\Delta{u}\)、\(u\)の増分に対する\(y\)の増分を\(\Delta{y}\)とすると、\(\displaystyle{\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}}\)は、

\(\displaystyle{\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{\Delta{y}}{\Delta{u}}・\frac{\Delta{u}}{\Delta{x}}}\)

と書けます。

このとき、\(\Delta{x}\to0\)のとき\(\Delta{u}\to0\)となります。

以上から、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{dy}{dx}&=&\lim_{\Delta{x}\to0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}\\\\&=&\lim_{\Delta{x}\to0}\left(\frac{\Delta{y}}{\Delta{u}}・\frac{\Delta{u}}{\Delta{x}}\right)\\\\&=&\lim_{\Delta{u}\to0}\left(\frac{\Delta{y}}{\Delta{u}}\right)・\lim_{\Delta{x}\to0}\left(\frac{\Delta{u}}{\Delta{x}}\right)\\\\&=&\frac{dy}{du}・\frac{du}{dx}\end{eqnarray}}\)

となります。

よって、下記のことが成り立ちます。

\(y=f(u)\)が\(u\)の関数として微分可能で、\(u=g(x)\)が\(x\)の関数として微分可能であるとする。
このとき、合成関数\(y=f(g(x))\)は\(x\)の関数として微分可能で、

\(\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}・\frac{du}{dx}}\)

※感覚としては、約分して成り立つように表記する。
　\(\displaystyle{\frac{dy}{dx}}\)を求めたいとき、\(\displaystyle{\frac{dy}{\textcolor{blue}{\cancel{\textcolor{black}{du}}}}・\frac{\textcolor{blue}{\cancel{\textcolor{black}{du}}}}{dx}=\frac{dy}{dx}}\)となるようにする。

\(\underline{\bf{合成関数の微分法計算例}}\)

\(y=(x^2+1)^3\)に関して、\(\displaystyle{\frac{dy}{dx}}\)を求めてみます。

\(u==x^2+1\)とすると、\(y=u^3\)

合成関数の微分法から、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{dy}{dx}&=&\left(\frac{dy}{du}\right)・\left(\frac{du}{dx}\right)\\\\&=&\left\{\frac{d}{du}u^3\right\}・\left\{\frac{d}{dx}(x^2+1)\right\}\\\\&=&3u^2・2x\end{eqnarray}}\)

※上記、\(\frac{d}{du}u^3\)は\(u^3\)を\(u\)で微分する、\(\frac{d}{dx}(x^2+1)\)は\( (x^2+1)\)を\(x\)で微分するという意味になります。

いま、\(u=x^2+1\)なので、\(u^2\)に代入すると、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{dy}{dx}&=&3u^2・2x\\\\&=&3(x^2+1)^2・2x\\\\&=&6x(x^2+1)^2\end{eqnarray}}\)

となります。

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4.逆関数の微分法

　4-1.逆関数の微分法

逆関数を利用して、もとの関数の導関数を求めてみます。

\(f(x)、g(x)\)が互いに逆関数でともに微分可能であるとします。

\(y=f(x)\)を\(x\)について解くと、\(x=g(y)\)

この両辺を\(x\)で微分すると、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\frac{d}{dx}x=\frac{d}{dx}g(y)\\\\\Leftrightarrow&&1=\frac{d}{dx}g(y)\end{eqnarray}}\)

また、合成関数の微分法から、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&1=\frac{d}{dx}g(y)\\\\\Leftrightarrow&&1=\frac{d}{dy}g(y)・\frac{dy}{dx}\end{eqnarray}}\)

\(g(y)=x\)なので、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&1=\frac{d}{dy}g(y)・\frac{dy}{dx}\\\\\Leftrightarrow&&1=\frac{dx}{dy}・\frac{dy}{dx}\end{eqnarray}}\)

\(\displaystyle{\frac{dy}{dx}\neq0}\)のとき、上式の両辺を\(\displaystyle{\frac{dy}{dx}}\)で割って、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&1=\frac{dx}{dy}・\frac{dy}{dx}\\\\\Leftrightarrow&&\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\end{eqnarray}}\)

となります。

従って、逆関数の微分法は下記のようになります。

\(\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}\)

\(\underline{\bf{逆関数の微分法計算例}}\)

\(\displaystyle{y=\sqrt{x}}\)の導関数を、逆関数の微分法を用いて求めてみます。

\(\displaystyle{y=\sqrt{x}}\)を\(x\)について解くと、\(\displaystyle{x=y^2}\)

以上から、逆関数の微分法を用いて、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{dy}{dx}&=&\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\\\\&=&\frac{1}{\frac{d}{dy}y^2}\\\\&=&\frac{1}{2y}\\\\&=&\frac{1}{2\sqrt{x}}　(∵y=\sqrt{x})\end{eqnarray}}\)

となります。

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　4-2.\(x^p\)の導関数(\(p\)は有理数)

逆関数の微分法を用いて、\(p\)が有理数の場合の\(x^p\)の導関数を求めてみます。

\(p\)が有理数のとき、正の整数\(n\)と整数\(m\)を用いて、\(\displaystyle{p=\frac{m}{n}}\)と表せるので、

\(\displaystyle{x^p=x^{\frac{n}{m}}=\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^m}\)

ここで、\(\displaystyle{y=x^{\frac{1}{n}}}\)とおくと、\(x\)について解いて\(x=y^n\)となります。

これより、

\(\displaystyle{\frac{dx}{dy}=ny^{n-1}}\)

また、

\(\displaystyle{x^p=\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^m=y^m}\)

となります。

以上のことを用いて、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}x^p&=&\frac{d}{dx}y^m\\\\&=&\frac{d}{dy}y^m・\frac{dy}{dx}(←合成関数の微分法)\\\\&=&(my^{m- 1})・\frac{1}{\frac{dx}{dy}}(←逆関数の微分法)\\\\&=&(my^{m- 1})・\frac{1}{ny^{n- 1}}(∵\frac{dx}{dy}=ny^{n- 1})\\\\&=&(my^{m- 1})・\frac{1}{n}・y^{-(n- 1)}\\\\&=&\frac{m}{n}y^{m- 1-(n- 1)}\\\\&=&\frac{m}{n}y^{m- n}\\\\&=&\frac{m}{n}\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m- n}(∵y=x^{\frac{1}{n}})\\\\&=&\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}- 1}\\\\&=&px^{p- 1}(∵p=\frac{m}{n})\end{eqnarray}}\)

よって、\(p\)が有理数のとき

\(\displaystyle{\left(x^p\right)'=px^{p-1}}\)

となります。
下記に計算例を載せておきます。

\(\underline{\bf{計算例}}\)

逆関数の微分法でも扱った、\(y=\sqrt{x}\)を\(x\)で微分します。

\(\displaystyle{y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\)

なので、\(\displaystyle{\left(x^p\right)'=px^{p-1}}\)を用いて

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\left(\sqrt{x}\right)'&=&\left(x^{\frac{1}{2}}\right)'\\\\&=&\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}\\\\&=&\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\\\&=&\frac{1}{2}・\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\\\\&=&\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{eqnarray}}\)

となります。
この計算結果は、逆関数の微分法を用いて計算したものと同じになっています。

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5.様々な関数の導関数

　5-1.三角関数の導関数

各三角関数の導関数を調べてみます。

\(\underline{{\sin{x}}{\bf{の導関数}}}\)

導関数の定義式から、

\(\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{\sin{(x+h)}-\sin{x}}{h}}\)

また、「三角関数の公式」で扱った加法定理を用いると、\(\sin{(x+h)}\)は

\(\sin{(x+h)}=\sin{x}\cos{h}+\cos{x}\sin{h}\)

となるので、定義式は

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\lim_{h\to0}\frac{\sin{(x+h)}-\sin{x}}{h}\\\\=&&\lim_{h\to0}\frac{\sin{x}\cos{h}+\cos{x}\sin{h}-\sin{x}}{h}\\\\=&&\lim_{h\to0}\frac{(\cos{h}-1)\sin{x}+\cos{x}\sin{h}}{h}\\\\=&&\lim_{h\to0}\left\{\frac{(\cos{h}-1)\sin{x}}{h}+\frac{\cos{x}\sin{h}}{h}\right\}　\cdots①\end{eqnarray}}\)

ここで、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\lim_{h\to0}\frac{(\cos{h}-1)}{h}\\\\=&&\lim_{h\to0}\frac{(\cos{h}-1)(\cos{h}+1)}{h(\cos{h}+1)}\\\\=&&\lim_{h\to0}\frac{\cos^2{h}-1}{h(\cos{h}+1)}\\\\=&&\lim_{h\to0}\frac{-\sin^2{h}}{h(\cos{h}+1)} (∵\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1)\\\\=&&\lim_{h\to0}\left(\frac{-\sin{h}}{h}・\frac{\sin{h}}{\cos{h}+1}\right)\end{eqnarray}}\)

上式において、「極限」で扱った\(\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1}\)を用います。
また、\(h\to0\)のとき、\(\sin{h}\to0\) , \(\cos{h}\to1\)なので、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\lim_{h\to0}\left(\frac{-\sin{h}}{h}・\frac{\sin{h}}{\cos{h}+1}\right)\\\\=&&(-1)・\frac{0}{1+1}\\\\=&&0\end{eqnarray}}\)

よって、\(①\)は、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\lim_{h\to0}\left\{\frac{(\cos{h}-1)}{h}・\sin{x}+\frac{\sin{h}}{h}・\cos{x}\right\}\\\\=&&0・\sin{x}+1・\cos{x}\\\\=&&\cos{x}\end{eqnarray}}\)

以上から、

\(\textcolor{red}{(\sin{x})'=\cos{x}}\)

となります。

\(\underline{{\cos{x}}{\bf{の導関数}}}\)

\(\displaystyle{\cos{x}=\sin(x+\frac{\pi}{2})}\)なので、\(\displaystyle{u=x+\frac{\pi}{2}}\)とおくと

\(\displaystyle{\cos{x}=\sin(x+\frac{\pi}{2})=\sin{u}}\)

また、

\(\displaystyle{\frac{du}{dx}=\left(x+\frac{\pi}{2}\right)'=1}\)

これらより、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}(\cos{x})'&=&\frac{d}{dx}\sin(x+\frac{\pi}{2})\\\\&=&\frac{d}{dx}\sin{u}\\\\&=&\frac{d}{du}\sin{u}\frac{du}{dx}(←合成関数の微分)\\\\&=&\cos{u}・1\\\\&=&\cos(x+\frac{\pi}{2})\\\\&=&-\sin{x}\end{eqnarray}}\)

以上から、

\(\textcolor{red}{(\cos{x})'=-\sin{x}}\)

\(\underline{{\tan{x}}{\bf{の導関数}}}\)

\(\displaystyle{\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}\)より、積の微分公式から、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}(\tan{x})'&=&\left(\sin{x}・\frac{1}{\cos{x}}\right)'\\\\&=&(\sin{x})'・\frac{1}{\cos{x}}+\sin{x}・\left(\frac{1}{\cos{x}}\right)'\\\\&=&\frac{\cos{x}}{\cos{x}}+\sin{x}・\left(\frac{1}{\cos{x}}\right)'\\\\&=&1+\sin{x}・\left(\frac{1}{\cos{x}}\right)'　\cdots②\end{eqnarray}}\)

ここで、\(\displaystyle{y=\frac{1}{\cos{x}},u=\cos{x}}\)とすると、

\(\displaystyle{y=\frac{1}{\cos{x}}=\frac{1}{u}=u^{-1}}\)

また、

\(\displaystyle{\frac{du}{dx}=(\cos{x})'=-\sin{x}}\)

よって、合成関数の微分公式から

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{dy}{dx}&=&\frac{dy}{du}・\frac{du}{dx}\\\\&=&\frac{d}{du}u^{-1}\frac{d}{dx}(\cos{x})\\\\&=&-u^{-2}・(-\sin{x})\\\\&=&\frac{\sin{x}}{u^2}\\\\&=&\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}\end{eqnarray}}\)

このことから、

\(\displaystyle{\left(\frac{1}{\cos{x}}\right)'=\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}}\)

これらから、\(②\)は

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}1+\sin{x}・\left(\frac{1}{\cos{x}}\right)'&=&1+\sin{x}・\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}\\\\&=&1+\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}\\\\&=&\frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}}+\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}\\\\&=&\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\cos^2{x}}\\\\&=&\frac{1}{\cos^2{x}}(∵\sin^2{x}+\cos^2{x}=1)\end{eqnarray}}\)

以上から、

\(\displaystyle{(\tan{x})'=\frac{1}{\cos^2{x}}}\)

となります。

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5-2.対数関数の導関数

対数関数については、こちらも参考にしてください
→対数関数

\(\underline{{\bf{ネイピア数}}{e}{\bf{の定義}}}\)

数学において、\(e\)をネイピア数といい、その値は\(e=2.718\cdots\)と続く無理数となります。

この\(e\)の定義は、下記のようになります。

\(\displaystyle{e=\lim_{h\to0}\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}}\)

また、上式において\(h\to0\)のとき\(\frac{1}{h}\to\infty\)であればよいので、下式でも表せます。

\(\displaystyle{e=\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\)

これらがネイピア数\(e\)の定義となります。

この\(e\)を底とする対数(\(\log_e{x}\)など)を自然対数といい、微分法や積分法では底の\(e\)を省略して単に\(\log{x}\)と書くことが多いです。

\(\underline{{\bf{対数関数}}{\log_a{x}　(a\gt0,a\neq1)}{\bf{の導関数}}}\)

導関数の定義式から、

\(\displaystyle{\scriptsize{\begin{eqnarray}(&&\log_a{x})'\\\\=&&\lim_{h\to0}\frac{\log_a{(x+h)}-\log_a{x}}{h}\\\\=&&\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left\{\log_a\left(\frac{x+h}{x}\right)\right\}(←対数の性質から)\\\\=&&\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left\{\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)\right\}\\\\=&&\lim_{h\to0}\frac{1}{x}・\frac{x}{h}\left\{\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)\right\}(←(1+k)^{\frac{1}{k}}の形を作りたい)\\\\=&&\lim_{h\to0}\frac{1}{x}\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}(←対数の性質から)\end{eqnarray}}}\)

ここで、\(\displaystyle{\frac{h}{x}=k}\)とおくと、\(h\to0\)のとき\(k\to0\)なので上式は、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\lim_{h\to0}\frac{1}{x}\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}\\\\=&&\frac{1}{x}\lim_{k\to0}\log_a(1+k)^{\frac{1}{k}}\end{eqnarray}}\)

\(\displaystyle{}\lim_{k\to0}(1+k)^{\frac{1}{k}}\)は\(e\)の定義となるので

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\frac{1}{x}\lim_{k\to0}\log_a(1+k)^{\frac{1}{k}}\\\\=&&\frac{1}{x}\log_a{e}\end{eqnarray}}\)

となります。

さらに\(\log_a{e}\)について底の変換公式を用いて底を\(e\)に変換すると

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\log_a{e}&=&\frac{\log_e{e}}{\log_e{a}}\\\\&=&\frac{1}{\log{a}}(←\log_e{e}=1,底eは省略)\end{eqnarray}}\)

よって、

\(\frac{1}{x}\log_a{e}=\frac{1}{x\log{a}}\)

以上から、

\(\textcolor{red}{(\log_a{x})'=\frac{1}{x\log{a}}}\)

特に、\(a=e\)のとき、\(\log_e{e}=1\)なので、\(\log{x}\)を微分すると

\(\displaystyle{(\log{x})'=\frac{1}{x\log{e}}=\frac{1}{x}}\)

となります。

\(\underline{{\bf{関数}}{\log|x|}{\bf{の導関数}}}\)

\(x\)の正負で場合分けをして考えていきます。

i)\(x\gt0\)のとき

\(\log|x|=\log{x}\)なので、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}(\log|x|)'&=&(\log{x})'\\\\&=&\frac{1}{x}\end{eqnarray}}\)

ii)\(x\lt0\)のとき

\(\log|x|=\log(-x)\)

よって、\(y=\log(-x),u=-x\)とおくと、\(y=\log{u}\)

合成関数の微分公式から、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{dy}{dx}&=&\frac{dy}{du}・\frac{du}{dx}\\\\&=&\frac{d}{du}\log{u}・\frac{d}{dx}(-x)\\\\&=&\frac{1}{u}・(-1)\\\\&=&\frac{1}{-x}・(-1)(∵u=-x)\\\\&=&\frac{1}{x}\end{eqnarray}}\)

よって、\(x\lt0\)のときも

\(\displaystyle{(\log|x|)'=\frac{1}{x}}\)

以上から、

\(\displaystyle{\textcolor{red}{(\log|x|)'=\frac{1}{x}}}\)

となります。

また、\(\log_a{|x|}\)については、底を\(e\)に変換すると

\(\displaystyle{\log_a{|x|}=\frac{\log{|x|}}{\log{a}}}\)

なので、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}(\log_a|x|)'&=&\frac{1}{\log{a}}(\log|x|)'(←\frac{1}{\log{a}}は定数)\\\\&=&\frac{1}{\log{a}}・\frac{1}{x}\\\\&=&\frac{1}{x\log{a}}\end{eqnarray}}\)

従って、

\(\displaystyle{\textcolor{red}{(\log_a{|x|})'=\frac{1}{x\log{a}}}}\)

となります。

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　5-3.指数関数の導関数

指数関数については、こちらも参考にしてください
→指数関数

\(y=a^x (a\gt0,a\neq1)\)の導関数を求めてみます。

上記関数を\(x\)について解くと

\(x=\log_a{y}\)

また、対数関数の導関数の公式から、

\(\displaystyle{\frac{dx}{dy}=\frac{d}{dy}\log_a{y}=\frac{1}{y\log{a}}}\)

よって、逆関数の微分公式から、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{dy}{dx}&=&\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\\\\&=&\frac{1}{\frac{1}{y\log{a}}}\\\\&=&y\log{a}\\\\&=&a^x\log{a}(∵y=a^x)\end{eqnarray}}\)

以上から、

\(\displaystyle{\textcolor{red}{(a^x)'=a^x\log{a}}}\)

また、特に\(a=e\)のとき、すなわち\(y=e^x\)のとき\(\log{e}=1\)となるので、

\(\displaystyle{(e^x)'=e^x\log{e}=e^x}\)

となります。

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　5-4.第n次導関数

関数\(y=f(x)\)の導関数\(f'(x)\)は\(x\)の関数となりますが、この\(f'(x)\)が微分可能であるとき、さらに微分して得られる導関数を、関数\(y=f(x)\)の第2次導関数といい、\(\displaystyle{y^{\prime\prime},f^{\prime\prime}(x),\frac{d^2y}{dx^2},\frac{d^2}{dx^2}f(x)}\)などで表します。

さらに、\(f''(x)\)の導関数を\(y=f(x)\)の第3次導関数といい、\(\displaystyle{y^{\prime\prime\prime},f^{\prime\prime\prime}(x),\frac{d^3y}{dx^3},\frac{d^3}{dx^3}f(x)}\)などで表します。

一般に関数\(y=f(x)\)を\(n\)回微分して得られる関数を\(y=f(x)\)の第\(n\)次導関数といい、\(\displaystyle{y^{(n)},f^{(n)}(x),\frac{d^ny}{dx^n},\frac{d^n}{dx^n}f(x)}\)などで表します。

(\(y^{(1)},y^{(2)},y^{(3)}\)はそれぞれ\(y^{\prime},y^{\prime\prime},y^{\prime\prime\prime}\))

例)
\(y=x^3\)とするとき

\(\displaystyle{\frac{dy}{dx}=3x^2}\)←第1次導関数

\(\displaystyle{\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}3x^2=6x}\)←第2次導関数

\(\displaystyle{\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{d}{dx}6x=6}\)←第3次導関数

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　5-5.\(x^a\)の導関数(\(a\)は実数)

\(a\)が実数のときの\(x^a\)の導関数について考えてみます。

\(y=x^a\)の両辺の自然対数をとると、

\(\log{y}=\log{x^a}=a\log{x}\)

上式の両辺を\(x\)で微分すると、

\(\displaystyle{\frac{d}{dx}\log{y}=\frac{d}{dx}(a\log{x})}\)

ここで、右辺について合成関数の微分法を用いると

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}\log{y}&=&\frac{d}{dy}\log{y}・\frac{dy}{dx}\end{eqnarray}}\)

対数関数の微分公式から

\(\displaystyle{\frac{d}{dy}\log{y}=\frac{1}{y}}\)

また、

\(\displaystyle{\frac{dy}{dx}=y'}\)

なので、

\(\displaystyle{\frac{d}{dy}\log{y}・\frac{dy}{dx}=\frac{y'}{y}}\)

右辺については、対数関数の微分公式から

\(\displaystyle{\frac{d}{dx}(a\log{x})=\frac{a}{x}}\)

よって、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\frac{d}{dx}\log{y}=\frac{d}{dx}(a\log{x})\\\\\Leftrightarrow&&\frac{y'}{y}=\frac{a}{x}\\\\\Leftrightarrow&&{y'}=\frac{a}{x}y\end{eqnarray}}\)

\(y=x^a\)なので、上式を計算していくと、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}y'&=&\frac{a}{x}y\\\\&=&\frac{a}{x}x^a\\\\&=&a・x^a・x^{-1}\\\\&=&ax^{a-1}\end{eqnarray}}\)

以上から、\(a\)が実数のときについても

\(\displaystyle{\textcolor{red}{(x^a)'=ax^{a-1}}}\)

となります。

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6.曲線の媒介変数表示と導関数

曲線\(C\)状の点\(P(x,y)\)の\(x\)座標と\(y\)座標が1つの変数\(t\)の関数\(f(t),g(t)\)によって

\(x=f(t)\)

\(y=g(t)\)

と表されるとき、この表し方を曲線\(C\)の媒介変数表示といい、\(t\)を媒介変数またはパラメータといいます。

このときの\(\displaystyle{\frac{dy}{dx}}\)を考えると、合成関数と逆関数の微分法から、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{dy}{dx}&=&\frac{dy}{dt}・\frac{dt}{dx}\\\\&=&\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\\\\&=&\frac{g'(t)}{f'(t)}\end{eqnarray}}\)

となります。

例) \(x=t^2,y=3t\)のとき

\(\displaystyle{\frac{dx}{dt}=2t}\)

\(\displaystyle{\frac{dy}{dt}=3}\)

よって、

\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{dy}{dx}&=&\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\\\\&=&\frac{3}{2t}\end{eqnarray}}\)

となります。

今回は以上となります。

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