5-7.よく使う積分の考え方と微積公式まとめ
こちらは、\(dx\)を微小区間、\(\displaystyle{\int_a^b}\)を\(a\)から\(b\)まで滑らかに足し合わせると考えた際の、積分計算の考え方について解説しています。
サイトを設立しました。
こちらでも解説しているのでよろしくお願いします。
→5-3.様々な関数(分数関数/無理関数/逆関数/合成関数)
Twitterアカウント→@roke_blog
目次
1.よく使う積分の考え方
1-1.面積
「積分法の応用」で区分求積法を扱いました。
区分求積法では、区間を\(n\)等分してこの\(n\)を限りなく大きくしていくと分割幅は限りなく小さくなってくので、着目している長方形は限りなく細くなっていきます。
長方形が細くなっていくと、長方形の面積とグラフとの隙間が無くなっていき、細長い長方形(ほぼ線)を全て足し合わせると、注目している部分の面積になるというものでした。
これとほぼ同じような考え方を、積分記号を捉えることがあります。
\(y=f(x)\)のグラフについて、\(x\)座標が\(x\)である部分を考えます。
この点における\(y\)座標の値は\(f(x)\)となります。
この\(x\)座標部分について、限りなく小さな幅である\(dx\)を考えます。
上図A部の横幅を拡大すると、下図のようになります。
(スケールは正しくないですが)
\(y=f(x)\)は曲線ですが、幅\(dx\)は微小なのでこの部分を拡大すると、上図\(DC\)は直線であるとみなせます。
よって、上図の\(ABCD\)は長方形とみなせ、この面積は縦幅が\(f(x)\)、横幅が\(dx\)なので\(f(x)dx\)となります。
この長方形を、\(x\)の値を\(a\to{b}\)へと変化させなめらかに足していくと、\(y=f(x)\)のグラフと\(x\)軸、\(x=a , x=b\)で囲まれた部分の面積となります。
この面積を\(S\)とします。
(例えば、\(x=a\)のときの長方形の面積は、\(f(a)dx\)となる。これを\(x\)を\(a\to{b}\)へと変化させていった際の各長方形の面積を足したものが\(\S\))
ここで積分の記号\(\displaystyle{\int_a^b}\)を、\(x\)を\(a\)から\(b\)まで変化させ滑らかに足すという意味だと捉えると、
\(\displaystyle{S=\int_a^b{f(x)}dx}\)
となります。
上式は、微小な長方形の面積\(f(x)dx\)における\(x\)を\(a\to{b}\)まで滑らかに足していった和が\(S\)という意味になります。
\(x\)の値を\(a\to{b}\)に変化させると、長方形の縦の長さ\(f(x)\)も\(f(a)\to{f(b)}\)へと滑らかに変化していきます。
イメージは下図のようになります。
また、同様にして2つの関数\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)を考えると下図のようになります。
上記と同様にして、微小幅\(dx\)を考え、注目している部分を拡大すると、下図のようになります。
この微小長方形の\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)の間の面積は上図の斜線部となります。
この面積は、長方形\(ABCD\)から\(ABEF\)を引いた、\(FECD\)となります。
長方形\(ABCD\)の面積は横幅が\(dx\)、縦幅が\(f(x)\)なので
\(f(x)dx\)
長方形\(ABEF\)の面積は横幅が\(dx\)、縦幅が\(g(x)\)なので
\(g(x)dx\)
よって、微小長方形\(FECD\)の面積は、\(ABCD\)から\(ABEF\)を引いて
\(f(x)dx-g(x)dx=\left\{f(x)-g(x)\right\}dx\)
となります。
ここで、上記と同様にして\(\displaystyle{\int_a^b}\)を\(x\)の値を\(a\to{b}\)まで変化させて滑らかに足すという意味であると捉えると、\(y=f(x) , y=g(x) , x=a , x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(\displaystyle{S=\int_a^b\left\{f(x)-g(x)\right\}dx}\)
となります。
上式の意味は、微小な長方形\(\left\{f(x)-g(x)\right\}dx\)の\(x\)の値を\(a\to{b}\)まで変化させ足し合わせた和が\(S\)であるという意味になります。
1-2.体積
こちらも面積と同様に考えて、ある点における微小体積を考えてそれを足すというふうに考えます。
状況を下図のように設定します。
上図では、幅\(dx\)は分かりやすいように大きくしていますが、実際には限りなく小さい微小な幅であると思ってください。
上図のように\(x\)軸上に、点\(x\)を通り\(x\)軸と垂直な面で切った立体の断面積を\(S(x)\)とします。
この断面積\(S(x)\)と、限りなく小さな微小幅\(dx\)を考えると、この部分の微小体積は(面積×厚み)で\(S(x)dx\)となります。
この微小体積を\(x=a\)から\(x=b\)までなめらかに足し合わせていったものが、この立体の体積\(V\)となるので、面積のときと同様に\(\displaystyle{\int_a^b}\)を、\(x\)の値を\(a\to{b}\)まで変化させて滑らかに足すという意味であると捉えると
\(\displaystyle{V=\int_a^b{S(x)}dx}\)
となります。
以上のように微小な幅を\(dx\)として、その際の微小面積あるいは微小体積を考えます。
そして、\(\displaystyle{\int_a^b}\)を\(x\)を\(a\)から\(b\)まで変化させて考えている微小面積あるいは微小体積をなめらかに足し合わせていくという意味だと捉えて立式する考え方もあります。
2.微分の公式まとめ
以下に、微分に関する公式をまとめておきます。
\(\underline{\bf{導 関数の定義}}\)
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}f'(x)&=&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}\\\\&=&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{eqnarray}}\)
\(\Delta{x}=(x+h)-x\)、\(\Delta{y}=f(x+h)-f(x)\)とすると
\(\displaystyle{f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}}\)
\(\underline{{\bf{導 関数の性質}}}\)
関数\(f(x),g(x)\)がともに微分可能であるとき
○定数倍
\(\displaystyle{\left\{kf(x)\right\}'=kf'(x) (kは定数)}\)
○和
\(\displaystyle{\left\{f(x)+g(x)\right\}'=f'(x)+g'(x)}\)
○差
\(\displaystyle{\left\{f(x)-g(x)\right\}'=f'(x)-g'(x)}\)
\(\underline{{x^a}{\bf{の微 分}}}\)
\(a\)が実数のとき
\(\displaystyle{(x^a)'=ax^{a-1}}\)
\(\underline{{\bf{積の微 分}}}\)
\(\displaystyle{\left\{f(x)g(x)\right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\)
\(\underline{{\bf{商の微 分}}}\)
\(\displaystyle{\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'=-\frac{g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}}\)
\(\displaystyle{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}}\)
\(\underline{{\bf{合成 関数の微 分}}}\)
\(\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}・\frac{du}{dx}}\)
\(\underline{{\bf{逆 関数の微 分}}}\)
\(\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}\)
\(\underline{{\bf{三角 関数の微 分}}}\)
\(\displaystyle{(\sin{x})'=\cos{x}}\)
\(\displaystyle{(\cos{x})'=-\sin{x}}\)
\(\displaystyle{(\tan{x})'=\frac{1}{\cos^2{x}}}\)
\(\underline{{\bf{対数 関数の微 分}}}\)
○\(e\)の定義
\(\displaystyle{\lim_{k\to0}(1+k)^{\frac{1}{k}}=e}\)
または
\(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\)
○対数関数の微分
\(\displaystyle{(\log_a{x})'=\frac{1}{x\log{a}}}\)
\(\displaystyle{(\log{x})'=\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{(\log|x|)'=\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{(\log_a{|x|})'=\frac{1}{x\log{a}}}\)
\(\underline{{\bf{指数 関数の微 分}}}\)
\(\displaystyle{(e^x)'=a^x\log{a}}\)
\(\displaystyle{(e^x)'=e^x}\)
\(\underline{{\bf{曲線の媒介変数表示と導 関数}}}\)
\(x=f(t),y=g(t)\)のとき
\(\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}}\)
3.積分の公式まとめ
3-1.不定積分
\(\underline{{f(x)}{\bf{の不 定積 分}}}\)
\(\displaystyle{F'(x)=f(x)}\)のとき、\(f(x)\)の不定積分は
\(\displaystyle{\int{f(x)}dx=F(x)+C (Cは積 分定 数)}\)
\(\underline{{x^{\alpha}}{\bf{の不 定積 分}}}\)
\(\displaystyle{\int{x^{\alpha}}dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C (\alpha\neq1)}\)
\(\displaystyle{\int{\frac{1}{x}}dx=\log|x|+C}\)
\(\underline{{\bf{不 定積 分の性質}}}\)
○定数倍
\(\displaystyle{\int{kf(x)}dx=k\int{f(x)}dx (kは定数)}\)
○和
\(\displaystyle{\int\left\{f(x)+g(x)\right\}dx=\int{f(x)}dx+\int{g(x)}dx}\)
○差
\(\displaystyle{\int{\left\{f(x)-g(x)\right\}}dx=\int{f(x)}dx-\int{g(x)}dx}\)
\(\underline{{\bf{三角 関数の不 定積 分}}}\)
\(\displaystyle{\int\sin{x}dx=-\cos{x}+C}\)
\(\displaystyle{\int\cos{x}dx=\sin{x}+C}\)
\(\displaystyle{\int{\frac{1}{\cos^2{x}}}dx=\tan{x}+C}\)
\(\underline{{\bf{指数 関数の不 定積 分}}}\)
\(\displaystyle{\int{e^x}dx=e^x+C}\)
\(\displaystyle{\int{a^x}dx=\frac{a^x}{\log{a}}+C}\)
\(\underline{{\bf{置換積 分}}}\)
\(F'(x)=f(x) , a\neq0\)のとき
\(\displaystyle{\int{f(ax+b)}dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C}\)
\(\displaystyle{\int{f(x)}dx=\int{f(g(t))・g'(t)}dt (x=g(t))}\)
\(\displaystyle{\int{f(g(x))・g'(x)}dx=\int{f(u)}du (g(x)=u)}\)
\(\displaystyle{\int{\frac{g'(x)}{g(x)}}dx=\log|g(x)|+C}\)
\(\underline{{\bf{部分積 分}}}\)
\(\displaystyle{\int{f(x)g'(x)}dx=f(x)g(x)-\int{f'(x)g(x)}dx}\)
3-2.定積分
以下に、定積分に関する公式をまとめておきます。
\(\underline{{\bf{定積 分}}}\)
区間\([a,b]\)で連続な関数\(f(x)\)の原始関数の1つを\(F(x)\)とすると
\(\displaystyle{\int_a^b{f(x)}dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)}\)
\(\underline{{\bf{定積 分の性質}}}\)
○定数倍
\(\displaystyle{\int_a^b{kf(x)}dx=k\int_a^b{f(x)}dx (kは定数)}\)
○和
\(\displaystyle{\int_a^b{\left\{f(x)+g(x)\right\}}dx=\int_a^b{f(x)}dx+\int_a^b{g(x)}dx}\)
○差
\(\displaystyle{\int_a^b{\left\{f(x)-g(x)\right\}}dx=\int_a^b{f(x)}dx-\int_a^b{g(x)}dx}\)
\(\int_a^a{f(x)}dx=0\)
\(\int_b^a{f(x)}dx=-\int_a^b{f(x)}dx\)
\(\displaystyle{\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^c{f(x)}dx+\int_c^b{f(x)}dx}\)
\(\underline{{\bf{定積 分の置換積 分}}}\)
\(x=g(t)\)とおくとき、\(a=g(\alpha),b=g(\beta)\)ならば
\(\displaystyle{\int_a^b{f(x)}dx=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))・g'(t)}dt}\)
積分変数が\(x\)から\(t\)になるので、\(x:a\to{b}\)のとき\(t:\alpha\to{\beta}\)と積分区間の変更が必要
置換積分において特に、
☆\(\sqrt{a^2-x^2}\)の形では、\(x=a\sin{\theta}\)とおいてみる
☆\(\displaystyle{\frac{1}{x^2+a^2} (a\gt0)}\)の形では、\(x=a\tan{\theta}\)とおいてみる
\(\underline{{\bf{偶 関数と奇 関数の定積 分}}}\)
○偶関数\(f(x)\)について
\(\displaystyle{\int_{-a}^a{f(x)}dx=2\int_0^a{f(x)}dx}\)
○奇関数\(f(x)\)について
\(\displaystyle{\int_{-a}^a{f(x)}dx=0}\)
\(\underline{{\bf{定積 分の部分積 分}}}\)
\(\displaystyle{\int_a^b{f(x)g'(x)}dx=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b{f'(x)g(x)}dx}\)
\(\underline{{\bf{区分求積法と定積 分}}}\)
\(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n{f(x_k)\Delta{x}}=\int_a^b{f(x)}dx}\)
ただし、\(\displaystyle{\Delta{x}=\frac{b-a}{n},x_k=a+k\Delta{x}}\)
特に、\(a=0,b=1\)のとき
\(\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{f\left(\frac{k}{n}\right)}=\int_0^1{f(x)}dx}\)
ただし、\(\displaystyle{\Delta{x}=\frac{1}{n},x_k=\frac{k}{n}}\)
\(\underline{{\bf{面積}}}\)
○区間\([a,b]\)で常に\(f(x)\ge0\)のとき、曲線\(y=f(x)\)と\(x\)軸および2直線\(x=a,x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(\displaystyle{S=\int_a^b{f(x)}dx}\)
○区間\(a{\le}x{\le}b\)で常に\(f(x)\ge{g(x)}\)のとき、2つの曲線\(y=f(x),y=g(x)\)と2直線\(x=a,x=b\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(\displaystyle{S=\int_a^b{\left\{f(x)-g(x)\right\}}dx}\)
○区間\(c{\le}x{\le}d\)で常に\(g(y)\ge0\)のとき、曲線\(x=g(y)\)と\(y\)軸および2直線\(y=c\)と\(y=d\)で囲まれた部分の面積\(S\)は
\(\displaystyle{S=\int_c^d{g(y)}dy}\)
また、面積については微小幅\(dx\)を考えその部分における微小面積\(f(x)dx\)を\(\displaystyle{\int_a^b}\)で\(x\)を\(a\)から\(b\)まで滑らかに足し合わせるという式が
\(\displaystyle{\int_a^b{f(x)}dx}\)
であると考えることもできます。
\(\underline{{\bf{体積}}}\)
○体積
断面積を\(S(x)\)とすると、\(x\)座標が\(a\)から\(b\)までの立体の体積\(V\)は
\(\displaystyle{V=\int_a^b{S(x)}dx} (a\lt{b})\)
○\(x\)軸周りの回転体の体積
\(x\)座標が\(a\)から\(b\)までの\(x\)軸周りの回転体の体積\(V\)は
\(\displaystyle{V=\pi\int_a^b{\left\{f(x)\right\}^2}dx=\pi\int_a^b{y^2}dx (a\lt{b})}\)
○\(y\)軸周りの回転体の体積
\(y\)座標が\(c\)から\(d\)までの\(y\)軸周りの回転体の体積\(V\)は
\(\displaystyle{V=\pi\int_a^b{\left\{g(y)\right\}^2}dx=\pi\int_a^b{x^2}dx (c\lt{d})}\)
また、体積については微小幅\(dx\)を考えその部分における微小体積\(S(x)dx\)を\(\displaystyle{\int_a^b}\)で\(x\)を\(a\)から\(b\)まで滑らかに足し合わせるという式が
\(\displaystyle{\int_a^b{S(x)}dx}\)
であると考えることもできます。
今回は以上となりますが、微分・積分の公式は丸暗記するというよりも、どのように用いるかを知るということが大切であると思います。
特に、置換積分や部分積分については何を置換するかや、何を微分したものとおくか、または何を積分したものとおくか、ということが重要になってくるので、どのように工夫すれば計算ができるかということを見抜くことが必要です。
なので、公式をどのように用いるかを練習し、その過程で経験を身につけ置換積分や部分積分を行えるようにすることが大切です。
