4-2.落下運動①(補足解説と練習問題2)
落下運動①の記事で解説した内容の練習問題となります。
今回は、2物体の落下運動と少し複雑なv-tグラフについて取り扱います。
実際に問題を解く際には、解説した内容をどのように用いるのかに注目して読み進めてください。
また、落下運動①の記事で解説していなかった補足内容があれば、この記事に載せています。
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こちらでも解説しているのでよろしくお願いします。
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目次
1.2物体の落下運動
1-1.問題1
\(\underline{\bf{問題1}}\)
高い建物の屋上から、物体Aを静かに放し、その2.0秒後に物体Bを初速度28m/sで鉛直下向きに投げ下ろした。
このとき、物体Bを投げ下ろしてから何秒後に物体Bは物体Aに追いつくか答えよ。
また、追いついたときの物体Bの速さはいくらか答えよ。
ただし、重力加速度の大きさは\(9.8m/s^2\)とし、空気抵抗は無視できるものとする。
\(\underline{\bf{解答1}}\)
いままでは1つの物体についての落下運動でしたが、今回は物体が2つの場合を扱います。
原点は物体のスタート地点、物体は両方とも鉛直下向きに運動するので、下向きを正とします。
下向きを正としているので、重力加速度は\(+9.8m/s^2\)と正の値になります。
物体Bを投げてから追いつくまでの時間をt[s]とすると、状況は下図のようになります。
ここで、v-tグラフを描くために2.0s後の物体Aの速度を考えます。
このときの物体Aの速度を\(v_A\)とすると、加速度の定義式から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&+9.8m/s^2=\frac{v_A-0m/s}{2.0s-0s}\\\\{\Leftrightarrow}&&v_A=9.8m/s^2×2.0s\\\\{\Leftrightarrow}&&v_A=19.6m/s\end{eqnarray}}\)
前述のとおり、物体Bを投げてから物体Aに追いつくまでの時間をt[s]とし、また、追いついたときの物体Bの速度を\(v_B\)とするとv-tグラフは下図のようになります。
(両物体ともv-tグラフの傾きは\(+9.8m/s^2\))
ここで少し考えます。
追いつくというのはv-tグラフでいうと、どのような条件になるでしょうか？
追いついたときには、物体Aも物体Bも同じ高さにいます。
ということは、建物の屋上からの進んだ距離が同じになるということです。
v-tグラフの面積は、進んだ距離を表すので、"物体Aのv-tグラフの面積と物体Bのv-tグラフの面積が等しくなる"というのが、追いつく条件となります。
上図において、青色斜線部は共通なので、結局下図の部分が等しければよいことになります。
(図形の両辺から、青色斜線部を引いても等号は成り立つ)
赤色斜線部は直角三角形の面積です。
緑色斜線部は、両物体のv-tグラフの傾きが\(+9.8m/s^2\)と等しく、平行になるので平行四辺形になります。
以上から、面積が等しいという式を立てると
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&2.0s×19.6m/s×\frac{1}{2}=t×8.4m/s\\\\{\Leftrightarrow}&&19.6m=t×8.4m/s\\\\{\Leftrightarrow}&&t=\frac{19.6m}{8.4m/s}\\\\{\Leftrightarrow}&&t=\frac{7}{3}s\\\\{\Leftrightarrow}&&t=2.33\cdots{s}\\\\{\Leftrightarrow}&&t≒2.3s\end{eqnarray}}\)
これで、物体Bを投げてから追いつくまでの時間がわかりました。
次に、物体Bの追いついたときの速さを知りたいので、物体Bを投げたときを"はじめ"、追いついたときを"あと"と考えると、加速度の定義式から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&+9.8m/s^2=\frac{v_B-28m/s}{t[s]}\\\\{\Leftrightarrow}&&+9.8m/s^2=\frac{v_B-28m/s}{2.33s}\\\\{\Leftrightarrow}&&v_B=9.8m/s^2×2.33s+28m/s\\\\{\Leftrightarrow}&&v_B=22.84m/s+28m/s\\\\{\Leftrightarrow}&&v_B=50.84m/s\\\\{\Leftrightarrow}&&v_B≒51m/s\end{eqnarray}}\)
以上から
物体Bを投げてから物体Aに追いつくまでの時間
\(\underline{2.3秒後}\)
追いついた時の物体Bの速さ
\(\underline{51m/s}\)
となります。
1-2.問題2
\(\underline{\bf{問題2}}\)
建物の屋上から、物体Aを静かに放すと同時に、地面から物体Bを真上に初速度28m/sで投げ上げると、高さ40mの点で両物体は衝突した。
物体Aと物体Bは同一直線上を運動するとし、重力加速度の大きさを\(9.8m/s^2\)、空気抵抗は無視できるとき、次の問に答えよ。
ただし、鉛直上向きを正とする。
(1)物体Aと物体Bが衝突するのは、物体が運動をはじめてから何秒後か。
(2)衝突直前の物体Aと物体Bの速度を答えよ。
(3)建物の高さは何mか。
\(\underline{\bf{解答2}}\)
2物体を扱うときの軸の取り方は、両物体とも同じ向きを正とします。
今回は、鉛直上向きを正とするとのことなので、上向きが正となります。
原点は物体が運動をはじめる位置にとるので、状況は下図のようになります。
物体Aは自由落下。
物体Bは初速度+28m/sでの鉛直投げ上げとなります。
いま、鉛直上向きを正としているので、両物体の重力加速度は\(-9.8m/s^2\)となります。
また、高さ40mで衝突したということは、物体Bが進んだ距離が40m、すなわち物体Bのv-tグラフの面積が40mになるということです。
以上から、衝突直前の物体Aの速度を\(v_A\)、衝突直前の物体Bの速度を\(v_B\)、衝突時刻をtとすると両物体のv-tグラフは下図のようになります。
(1)
物体Bに関する加速度の定義式から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&-9.8m/s^2=\frac{v_B-28m/s}{t-0s}\\\\{\Leftrightarrow}&&v_B=28m/s-9.8m/s^2×t \cdots①\end{eqnarray}}\)
物体Bに関する、v-tグラフの面積から(台形の面積)
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&+40m=\frac{1}{2}t(v_B+28m/s)\\\\{\Leftrightarrow}&&80m=t(v_B+28m/s) \cdots②\end{eqnarray}}\)
①を②に代入して、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&80=t(v_B+28)\\\\{\Leftrightarrow}&&80=t(28-9.8t+28)\\\\{\Leftrightarrow}&&80=t(56-9.8t)\\\\{\Leftrightarrow}&&80=56t-9.8t^2\\\\{\Leftrightarrow}&&9.8t^2-56t+80=0\\\\{\Leftrightarrow}&&98t^2-560t+800\\\\{\Leftrightarrow}&&49t^2-280t+400=0\\\\{\Leftrightarrow}&&(7t)^2-2・(7t)・(20)^2=0\end{eqnarray}}\)
ここで、
\(7t=a\)
\(20=b\)
とおくと、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&(7t)^2-2・(7t)・(20)^2=0\\\\{\Leftrightarrow}&&a^2-2ab+b^2\\\\{\Leftrightarrow}&&(a-b)^2=0\\\\{\Leftrightarrow}&&(7t-20)^2=0\end{eqnarray}}\)
よって、
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&7t-20=0\\\\{\Leftrightarrow}&&7t=20\\\\{\Leftrightarrow}&&t=\frac{20}{7}s\\\\{\Leftrightarrow}&&t≒2.85s\\\\{\Leftrightarrow}&&t≒2.9s\end{eqnarray}}\)
以上から、物体が衝突する時刻は、物体が運動をはじめてから
\(\underline{\bf{2.9秒後}}\)
(2)
物体Bに関しては、(1)から\(t=\frac{20}{7}s\)を①に代入して
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}v_B&=&28m/s-9.8m/s^2×t\\\\&=&28m/s-9.8m/s×\frac{20}{7}\\\\&=&28m/s-98×\frac{2}{7}m/s\\\\&=&28m/s-14×2m/s\\\\&=&28m/s-28m/s\\\\&=&0m/s\end{eqnarray}}\)
このことから、物体Bが最高点に到達したときに、両物体が衝突したことがわかります。
(投げ上げたあとに、速度が0m/sとなるので)
物体Aについては、加速度の定義式から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&-9.8m/s^2=\frac{v_A-0m/s}{t-0s}\\\\{\Leftrightarrow}&&v_A=-9.8m/s^2×t\\\\{\Leftrightarrow}&&v_B=-9.8m/s^2×\frac{20}{7}s\\\\{\Leftrightarrow}&&v_A=-28m/s\end{eqnarray}}\)
以上から
衝突直前の物体Aの速度
\(\underline{\bf{-28m/s}}\)
衝突直前の物体Bの速度
\(\underline{\bf{0m/s}}\)
(3)
建物の高さは、物体Aが下向きに進んだ距離と、物体Bが上向きに進んだ距離の和となります。
物体Aが進んだ距離\(h_A\)は、v-tグラフの三角形の面積から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}h_A&=&\frac{1}{2}×v_A×t\\\\&=&\frac{1}{2}×(-28m/s)×\frac{20}{7}s\\\\&=&-40m\end{eqnarray}}\)
いま、鉛直上向きを正としているので、符合のマイナスは物体Aが下向きに進んだ距離となります。
物体Bが上向きに進んだ距離は40mなので、建物の高さHは
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}H&=&40m+|-40m|\\\\&=&40m+40m\\\\&=&80m\end{eqnarray}}\)
よって、建物の高さは
\(\underline{\bf{80m}}\)
※(3)の別解
40mで衝突したとき、たまたま物体Bは最高点で衝突しています。
このとき、v-tグラフにおいて三角形ができるので、三角形の相似を使いたいと思い、v-tグラフを描きなおしてみます。
v-tグラフを描きなおすと下図のようになります。
v-tグラフを眺めてみると、建物の高さである物体Aの面積と物体Bの面積は平行四辺形であることがわかります。
よって、平行四辺形の面積を求める式を用いて、建物の高さHは
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}H&=&t×28m/s\\\\&=&\frac{20}{7}s×28m/s\\\\&=&80m\end{eqnarray}}\)
よって、建物の高さは
\(\underline{\bf{80m}}\)
となります。
2.複雑なv-tグラフの解釈
\(\underline{\bf{問題}}\)
風船に物体を取り付け、上昇させることを考える。
風船と物体は地上から鉛直上向きに初速度0、一定の加速度で上昇するとする。
60秒後、地上からの高さ147mに到達したとき、物体は風船から静かに切り離された。
このとき、次の問に答えよ。
ただし、重力加速度の大きさは\(9.8m/s^2\)とし、空気抵抗は無視できるものとする。
(1)上昇中の風船と物体の加速度を答えよ。
(2)風船から物体が静かに切り離されたときの、物体の速度を答えよ。
(3)物体が最高点に到達するのは、風船から物体が切り離されてから何秒後か。
(4)物体が地面に到達するのは、風船から物体が切り離されてから何秒後か。
\(\underline{\bf{解答}}\)
風船と物体ははじめ鉛直上向きに上昇するので、鉛直上向きを正とします。
また、風船から物体が切り離される直前までは、物体は一定の加速度で上昇します。
風船が物体から切り離されてからは、物体は自由落下します。
物体が自由落下している際は、鉛直上向きを正としているので、重力加速度は\(-9.8m/s^2\)となります。
状況を図示すると、下図のようになります。
次にv-tグラフを考えていきます。
i)物体が切り離されるまで
物体が切り離されるまでは、風船と物体は一体となって一定の加速度で上昇します。
この加速度をαとしておきます。
いま鉛直上向きを正としているので、v-tグラフの傾きは右上がりとなります。
また、60秒後の風船と物体の速度をvとします。
ii)物体が切り離されてから
物体が切り離される直前、風船と物体の速度はvなので、切り離された直後の物体の速度はvとなります。
また、物体は自由落下します。
いま鉛直上向きを正としているので、加速度は(-9.8m/s^2)となり、v-tグラフの傾きは右下がりとなります。
物体が切り離されてから上昇する距離をh、物体が切り離されてから最高点に到達する時間を\(t\)、物体が切り離されてから地面に落下するまでの時間を\(t^{\prime}\)とすると、v-tグラフは下図のようになります。
(問われている時間を文字で設定した)
このv-tグラフをもとにして、問題を解いていきます。
(1)
風船と物体の加速度は、物体が切り離されるまでのv-tグラフにおける加速度の定義式から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}a&=&\frac{v-0m/s}{60s-0s}\\\\&=&\frac{v}{60s} \cdots①\end{eqnarray}}\)
また、物体が切り離されるまでのv-tグラフの面積から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&+147m=\frac{1}{2}×60s×v\\\\{\Leftrightarrow}&&v=\frac{2×147m}{60s}\\\\{\Leftrightarrow}&&v=4.9m/s \cdots②\end{eqnarray}}\)
②を①に代入して
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}v&=&\frac{v}{60s}\\\\&=&\frac{4.9m/s}{60s}\\\\&=&0.0816m/s^2\\\\&≒&8.2×10^{-2}m/s^2\end{eqnarray}}\)
よって、上昇中の風船と物体の加速度は
\(\underline{\bf{8.2×10^{-2}m/s^2}}\)
(2)
風船から物体が静かに切り離されたときの、物体の速度はvなので、(1)の②から
\(v=+4.9m/s\)
いま鉛直上向きを正としており、速度の符合は+なので、鉛直上向きの速度4.9m/sとなります。
よって、求める速度は
\(\underline{\bf{鉛直上向きに4.9m/s}}\)
(3)
v-tグラフにおいて、物体が切り離されてから最高点に到達するまでに注目すると、加速度の定義式から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&-9.8m/s^2=\frac{0m/s-v}{t}\\\\{\Leftrightarrow}&&-9.8m/s^2=\frac{0m/s-4.9m/s}{t}\\\\{\Leftrightarrow}&&-9.8m/s^2=\frac{-4.9m/s}{t}\\\\{\Leftrightarrow}&&t=\frac{-4.9m/s}{-9.8m/s^2}\\\\{\Leftrightarrow}&&t=0.50s\end{eqnarray}}\)
よって、風船から物体が切り離されてから物体が最高点に到達するのは
\(\underline{\bf{0.50秒後}}\)
(4)
三角形の相似を用います。
相似な三角形の"辺の長さの比"と"面積"の関係について
\(\displaystyle{(辺の長さの比)^2=(面積の比)}\)
が成り立ちます。
今回は、物体が切り離されてから最高点に到達するまでと、最高点に到達してから地面に到達するまでのv-tグラフにおける三角形の相似に注目します。
また、上記の面積hについて、v-tグラフの面積を求める式から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}h&=&\frac{1}{2}vt\\\\&=&\frac{1}{2}×4.9m/s×0.5s\\\\&=&\frac{4.9}{4}m\\\\&=&\frac{49}{40}m\end{eqnarray}}\)
相似な三角形の"辺の長さの比"と"面積"の関係を用いると、
\(\displaystyle{{\left(\frac{t^{\prime}-t}{t}\right)}^2=\frac{h+147}{h} \cdots③}\)
上式の右辺について
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{h+147}{h}&=&\frac{h}{h}+\frac{147}{h}\\\\&=&1+\frac{147}{\frac{49}{40}}\\\\&=&1+147×\frac{40}{49}\\\\&=&1+120\\\\&=&121\\\\&=&11^2\end{eqnarray}}\)
よって③式は
\(\displaystyle{{\left(\frac{t^{\prime}-t}{t}\right)}^2=11^2}\)
上式から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&\frac{t^{\prime}-t}{t}=11\\\\{\Leftrightarrow}&&t^{\prime}-t=11t\\\\{\Leftrightarrow}&&t^{\prime}=t+11t\\\\{\Leftrightarrow}&&t^{\prime}=12t\\\\{\Leftrightarrow}&&t^{\prime}=12×0.5s\\\\{\Leftrightarrow}&&t^{\prime}=6s\end{eqnarray}}\)
これより、風船から物体が切り離されてから地面に到達するのは
\(\underline{\bf{6.0秒後}}\)
※(4)を三角形の相似を用いずに解くと、
面積hについて、同様の計算を行って
\(\displaystyle{h=\frac{40}{49}m}\)
物体が地面に到達したときの速度を\(v_{あと}\)とし、v-tグラフにおける物体が最高点に到達してから地面に到達するまでに注目すると
加速度の定義式から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&-9.8=\frac{v_{あと}-0m/s}{t^{\prime}-t}\\\\{\Leftrightarrow}&&v=-9.8×(t^{\prime}-t) \cdots④\end{eqnarray}}\)
面積を求める式から
\(\displaystyle{-h-147=\frac{1}{2}v_{あと}(t^{\prime}-t) \cdots⑤}\)
④を⑤に代入して
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&-h-147=\frac{1}{2}v_{あと}×(t^{\prime}-t)\\\\{\Leftrightarrow}&&-h-147=\frac{1}{2}×(-9.8)×(t^{\prime}-t)^2\\\\{\Leftrightarrow}&&(t^{\prime}-t)^2=\frac{2(h+147)}{9.8} \cdots⑥\end{eqnarray}}\)
上式右辺について
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}\frac{2(h+147)}{9.8}&=&\frac{h+147}{4.9}\\\\&=&\frac{h}{4.9}+\frac{147}{4.9}\\\\&=&\frac{49}{40×4.9}+30\\\\&=&\frac{1}{4}+30\\\\&=&\frac{1+120}{4}\\\\&=&\frac{121}{4}\\\\&=&\frac{11^2}{2^2}\\\\&=&{\left(\frac{11}{2}\right)}^2\end{eqnarray}}\)
よって⑥式は
\(\displaystyle{(t^{\prime}-t)^2={\left(\frac{11}{2}\right)}^2}\)
以上から
\(\displaystyle{\begin{eqnarray}&&t^{\prime}-t=\frac{11}{2}\\\\{\Leftrightarrow}&&t^{\prime}=\frac{11}{2}+t\\\\{\Leftrightarrow}&&t^{\prime}=\frac{11}{2}+\frac{1}{2}\\\\{\Leftrightarrow}&&t^{\prime}=\frac{12}{2}\\\\{\Leftrightarrow}&&t^{\prime}=6\end{eqnarray}}\)
以上より、風船から物体が切り離されてから地面に到達するのは
\(\underline{\bf{6.0秒後}}\)
